Олимпиадные задачи из источника «2016/2017» для 9 класса - сложность 2 с решениями
В коммерческом турнире по футболу участвовало пять команд. Каждая должна была сыграть с каждой из остальных ровно один матч. В связи с финансовыми трудностями организаторы некоторые игры отменили. В итоге оказалось, что все команды набрали различное число очков и ни одна команда в графе набранных очков не имеет нуля. Какое наименьшее число игр могло быть сыграно в турнире, если за победу начислялось три очка, за ничью – одно, за поражение – ноль?
Существует ли такое натуральное <i>n</i>, что 3<sup><i>n</i></sup> + 2·17<sup><i>n</i></sup> является квадратом некоторого натурального числа?
Жили-были двадцать шпионов. Каждый из них написал донос на десять своих коллег.
Докажите, что не менее, чем десять пар шпионов донесли друг на друга.
Существует ли натуральное число, меньшее ста, которое можно представить в виде суммы двух квадратов различных натуральных чисел двумя различными способами?
Какие значения может принимать наибольший общий делитель натуральных чисел <i>m</i> и <i>n</i>, если известно, что при увеличении числа <i>m</i> на 6 он увеличивается в 9 раз?
Две окружности пересекаются в точках <i>А</i> и <i>В</i>. Через точку <i>В</i> проведена прямая, пересекающая окружности в точках <i>М</i> и <i>N</i> так, что <i>АВ</i> – биссектриса треугольника <i>МАN</i>. Докажите, что отношение отрезков <i>ВМ</i> и <i>BN</i> равно отношению радиусов окружностей.
Решите уравнение <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65994/problem_65994_img_2.gif">
Сто положительных чисел записаны по кругу. Квадрат каждого числа равен сумме двух чисел, стоящих за этим числом по часовой стрелке.
Какие числа могут быть записаны?
Кодовый замок откроется, если в клетках квадрата размером 4×4 набрать числа от 1 до 16 так, чтобы сумма чисел в каждом квадрате 2×2 была кратна 17. Можно ли открыть такой замок?
Пусть <i>a, b, c, d</i> – действительные числа, удовлетворяющие системе
<sup><i>a</i></sup>/<i><sub>b</sub> + <sup>b</sup></i>/<i><sub>c</sub> + <sup>c</sup></i>/<i><sub>d</sub> + <sup>d</sup></i>/<sub><i>a</i></sub> = 6,
<sup><i>a</i></sup>/<i><sub>c</sub> + <sup>b</sup></i>/<i><sub>d</sub> + <sup>c</sup></i>/<i><sub>a</sub> + <sup>d</sup></i>/<sub><i>b</i></sub> = 8.
Какие значения может принимать выражение <sup><i>a</i></sup>/<i>...
Число 1047 при делении на <i>A</i> дает остаток 23, а при делении на <i>A</i> + 1 – остаток 7. Найдите A.
Диагонали четырёхугольника <i>АВСD</i> пересекаются в точке <i>О, М</i> и <i>N</i> – середины сторон <i>ВС</i> и <i>AD</i> соответственно. Отрезок <i>MN</i> делит площадь четырёхугольника пополам. Найдите отношение <i>ОМ</i> : <i>ОN</i>, если <i>AD</i> = 2<i>BC</i>.
Можно ли поставить в ряд все натуральные числа от 1 до 100 так, чтобы каждые два соседних числа отличались либо на 2, либо в два раза?
На координатной плоскости изобразите множество точек, удовлетворяющих неравенству <i>x</i>²<i>y – y</i> ≥ 0.
По кольцевой дорожке длиной 60 см движутся в обе стороны муравьи со скоростью 1 см/c. Когда два муравья сталкиваются, они мгновенно разворачиваются и движутся с той же скоростью в противоположных направлениях. Оказалось, что за минуту произошло 48 попарных столкновений. Сколько муравьев могло быть на дорожке?
Дано 10 натуральных чисел. Из десяти всевозможных сумм по девять чисел всего девять различных: 86, 87, 88, 89, 90, 91, 93, 94, 95.
Найдите исходные числа.
Две окружности касаются друг друга в точке <i>C</i> и прямой <i>l</i> в точках <i>A</i> и <i>B</i>. Прямая <i>ВC</i> пересекает вторую окружность в точке <i>D</i>.
Докажите, что угол <i>BАD</i> – прямой.
График линейной функции <i>у = kх + k</i> + 1, где <i>k</i> > 0, пересекает оси координат в точках <i>А</i> и <i>В</i>.
Какова наименьшая возможная площадь треугольника <i>АВО</i> (<i>О</i> – начало координат)?
На столе лежит прямоугольный лист бумаги. Саша разрезает его по прямой на две части и кладёт части на стол. Потом он берёт одну из частей, снова режет по прямой на две части и кладёт части обратно на стол. Потом снова берёт со стола и разрезает одну часть, и так далее. Какое наименьшее количество разрезов необходимо сделать Саше, чтобы на столе оказалось, по крайней мере, 252 одиннадцатиугольника?
Решите систему уравнений:
<i>x</i>³ – <i>y</i> = 6,
<i>y</i>³ – <i>z</i> = 6,
<i>z</i>³ – <i>x</i> = 6.
Дано 100 целых чисел. Из первого числа вычли сумму цифр второго числа, из второго вычли сумму цифр третьего числа, и так далее, наконец, из 100-го числа вычли сумму цифр первого числа. Могут ли эти разности оказаться соответственно равными 1, 2, ..., 100 в каком-то порядке?
<i>СН</i> – высота остроугольного треугольника <i>АВС, О</i> – центр его описанной окружности. Точка <i>Т</i> – проекция вершины <i>С</i> на прямую <i>АО</i>.
В каком отношении прямая <i>ТН</i> делит сторону <i>ВС</i>?
Существует ли прямоугольный треугольник, у которого длины двух сторон – целые числа, а длина третьей стороны равна <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65962/problem_65962_img_2.gif"> ?
В равнобедренном треугольнике <i>АВС</i> с основанием <i>ВС</i> проведена биссектриса <i>CL</i>. Докажите, что <i>CL</i> < 2<i>BL</i>.
Решите уравнение <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65960/problem_65960_img_2.gif">