Олимпиадные задачи из источника «14 (2016 год)» для 7-9 класса - сложность 2 с решениями

Дан правильный семиугольник <i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>A</i>₃<i>A</i>₄<i>A</i>₅<i>A</i>₆<i>A</i>₇. Прямые <i>A</i>₂<i>A</i>₃ и <i>A</i>₅<i>A</i>₆ пересекаются в точке <i>X</i>, а прямые <i>A</i>₃<i>A</i>₅ и <i>A</i>₁<i>A</i>₆ – в точке <i>Y</i>.

Докажите,...

Прямая, проходящая через центр <i>I</i> вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>, перпендикулярна <i>AI</i> и пересекает стороны <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>C'</i> и <i>B'</i> соответственно. В треугольниках <i>BC'I</i> и <i>CB'I</i> провели высоты <i>C'C</i>₁ и <i>B'B</i>₁ соответственно. Докажите, что середина отрезка <i>B</i>₁<i>C</i>₁ лежит на прямой, проходящей через точку <i>I</i> и перпендикулярной <i>BC</i>.

Окружность с центром <i>O</i> проходит через концы гипотенузы прямоугольного треугольника и пересекает его катеты в точках <i>M</i> и <i>K</i>.

Докажите, что расстояние от точки <i>O</i> до прямой <i>MK</i> равно половине гипотенузы.

В прямоугольнике проведена ломаная, соседние звенья которой перпендикулярны и равны меньшей стороне прямоугольника (см. рис).

Найдите отношение сторон прямоугольника.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/65642/problem_65642_img_2.png"></div>

В шестиугольнике равны углы, три главные диагонали равны между собой и шесть остальных диагоналей также равны между собой.

Верно ли, что у него равны стороны?