Олимпиадные задачи из источника «15 (2017 год)» для 2-9 класса - сложность 3-5 с решениями
15 (2017 год)
НазадВ остроугольном неравнобедренном треугольнике <i>ABC</i> проведены высоты <i>AA</i><sub>1</sub>, <i>BB</i><sub>1</sub> и <i>CC</i><sub>1</sub>. Пусть ω – его описанная окружность, точка <i>M</i> – середина стороны <i>BC, P</i> – вторая точка пересечения описанной окружности треугольника <i>AB</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> и ω, <i>T</i> – точка пересечения касательных к ω, проведённых в точках <i>B</i> и <i>C, S</i> – точка пересечения <i>AT</i> и ω. Докажите, что <i>P, A</i><sub>1</sub>, <i>S</i> и середина отрезка <i>MT</i> лежат на од...
Вписанная окружность неравнобедренного треугольника <i>ABC</i> касается сторон <i>AB, BC</i> и <i>ABC</i> в точках <i>C</i><sub>1</sub>, <i>A</i><sub>1</sub> и <i>B</i><sub>1</sub> соответственно. Описанная окружность треугольника <i>A</i><sub>1</sub><i>BC</i><sub>1</sub> пересекает прямые <i>B</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>1</sub> и <i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> в точках <i>A</i><sub>0</sub> и <i>C</i><sub>0</sub> соответственно. Докажите, что ортоцентр <i>H</i> треугольник...
На плоскости даны неравнобедренный треугольник, его описанная окружность, и отмечен центр его вписанной окружности.
Пользуясь только линейкой без делений и проведя не больше семи линий, постройте диаметр описанной окружности.
Вокруг треугольника <i>ABC</i> с острым углом <i>C</i> описана окружность. На дуге <i>AB</i>, не содержащей точку <i>C</i>, выбрана точка <i>D</i>. Точка <i>D'</i> симметрична точке <i>D</i> относительно прямой <i>AB</i>. Прямые <i>AD'</i> и <i>BD'</i> пересекают стороны <i>BC</i> и <i>AC</i> в точках <i>E</i> и <i>F</i>. Пусть точка <i>C</i> движется по своей дуге <i>AB</i>. Докажите, что центр описанной окружности треугольника <i>CEF</i> движется по прямой.
Два квадрата расположены, как показано на рисунке. Докажите, что площадь чёрного треугольника равна сумме площадей серых. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/66139/problem_66139_img_2.gif"></div>
Точки <i>M</i> и <i>N</i> – середины сторон <i>AB</i> и <i>CD</i> соответственно четырёхугольника <i>ABCD</i>. Известно, что <i>BC || AD</i> и <i>AN = CM</i>.
Верно ли, что <i>ABCD</i> – параллелограмм?