Олимпиадные задачи из источника «Заочный тур» - сложность 2 с решениями
Заочный тур
Назада) Дан выпуклый четырёхугольник <i>ABCD</i>. Пусть <i>r</i><sub>1</sub> ≤ <i>r</i><sub>2</sub> ≤ <i>r</i><sub>3</sub> ≤ <i>r</i><sub>4</sub> – взятые в порядке возрастания радиусы вписанных окружностей треугольников <i>ABC, BCD, CDA, DAB</i>. Может ли оказаться, что <i>r</i><sub>4</sub> > 2<i>r</i><sub>3</sub>? б) В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i> диагонали пересекаются в точке <i>E</i>. Пусть <i>r</i><sub>1</sub> ≤ <i>r</i><sub>2</sub> ≤ <i>r</i><sub>3</sub> ≤ <i>r</i><sub>4</sub> – взятые в...
Диагонали <i>AC, BD</i> трапеции <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>P</i>. Описанные окружности треугольников <i>ABP, CDP</i> пересекают прямую <i>AD</i> в точках <i>X, Y</i>. Точка <i>M</i> – середина <i>XY</i>. Докажите, что <i>BM = CM</i>.
В равнобедренном треугольнике <i>ABC</i> (<i>AC = BC</i>) угол при вершине <i>C</i> равен 20°. Биссектрисы углов <i>A</i> и <i>B</i> пересекают боковые стороны треугольника соответственно в точках <i>A</i><sub>1</sub> и <i>B</i><sub>1</sub>. Докажите, что треугольник <i>A</i><sub>1</sub><i>OB</i><sub>1</sub> (где <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i>) является равносторонним.
В треугольнике <i>ABC AB = BC</i>. Из точки <i>E</i> на стороне <i>AB</i> опущен перпендикуляр <i>ED</i> на <i>BC</i>. Оказалось, что <i>AE = ED</i>. Найдите угол <i>DAC</i>.