Олимпиадные задачи по математике
В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> провели высоты <i>AA</i><sub>1</sub> и <i>BB</i><sub>1</sub>, которые пересекаются в точке <i>O</i>. Затем провели высоту <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub> треугольника <i>OBA</i><sub>1</sub> и высоту <i>B</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>2</sub> треугольника <i>OAB</i><sub>1</sub>. Докажите, что отрезок <i>A</i><sub>2</sub><i>B</i><sub>2</sub> параллелен стороне <i>AB</i>.
Квадратный лист бумаги согнули по прямой так, что одна из вершин квадрата оказалась на несмежной стороне. При этом образовалось три треугольника. В эти треугольники вписали окружности (см. рис.). Докажите, что радиус одной из этих окружностей равен сумме радиусов двух других. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116897/problem_116897_img_2.gif"></div>
Дана бесконечная последовательность чисел <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>3</sub>, ... Известно, что для любого номера <i>k</i> можно указать такое натуральное число <i>t</i>, что
<i>a<sub>k</sub> = a<sub>k+t</sub> = a</i><sub><i>k</i>+2<i>t</i></sub> = ... Обязательно ли тогда эта последовательность периодическая, то есть существует ли такое натуральное <i>T</i>, что <i>a<sub>k</sub> = a<sub>k+T</sub></i> при любом натуральном <i>k</i>?
Внутри окружности расположен прямоугольник $ABCD$. Лучи $BA$ и $DA$ пересекают окружность в точках $A_1$ и $A_2$. Точка $A_0$ – середина хорды $A_1A_2$. Аналогично определяются точки $B_0$, $C_0$, $D_0$. Докажите, чтоотрезки $A_0C_0$ и $B_0D_0$ равны.
В прямоугольном треугольнике $ABC$ (угол $C$ прямой) $BC=2AC$, $CH$ – высота, $O_1$ и $O_2$ – центры окружностей, вписанных соответственно в треугольники $ACH$ и $BCH$, а $O$ – центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Пусть $H_1$, $H_2$ и $H_0$ – проекции точек $O_1$, $O_2$ и $O$ на гипотенузу. Докажите, что $H_1H=HH_0=H_0H_2$.
Внутри квадрата расположены три окружности, каждая из которых касается внешним образом двух других, а также касается двух сторон квадрата. Докажите, что радиусы двух из данных окружностей одинаковы.
В параллелограмме <i>ABCD</i> провели трисектрисы углов <i>A</i> и <i>B</i>. Трисектрисы, ближние к стороне <i>AB</i>, пересекаются в точке <i>O</i>. Обозначим пересечение трисектрисы <i>AO</i> со второй трисектрисой угла <i>B</i> через <i>A</i><sub>1</sub>, а пересечение трисектрисы <i>BO</i> со второй трисектрисой угла <i>A</i> через <i>B</i><sub>1</sub>. Пусть <i>M</i> – середина отрезка <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub>, а прямая <i>MO</i> пересекает сторону <i>AB</i> в точке <i>N</i>. Докажите, что треугольник <i>A</i>...
Окружность отсекает от прямоугольника <i>ABCD</i> четыре прямоугольных треугольника, середины гипотенуз которых <i>A</i><sub>0</sub>, <i>B</i><sub>0</sub>, <i>C</i><sub>0</sub> и <i>D</i><sub>0</sub> соответственно.
Докажите, что отрезки <i>A</i><sub>0</sub><i>C</i><sub>0</sub> и <i>B</i><sub>0</sub><i>D</i><sub>0</sub> равны.
Два квадрата расположены так, как показано на рисунке. Докажите, что площади заштрихованных четырёхугольников равны. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65649/problem_65649_img_2.png"></div>
В трапеции <i>ABCD</i> биссектрисы углов <i>A</i> и <i>D</i> пересекаются в точке <i>E</i>, лежащей на боковой стороне <i>BC</i>. Эти биссектрисы разбивают трапецию на три треугольника, в которые вписали окружности. Одна из этих окружностей касается основания <i>AB</i> в точке <i>K</i>, а две другие касаются биссектрисы <i>DE</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i>. Докажите, что <i>BK = MN</i>.
В равнобедренном треугольнике <i>ABC</i> (<i>AC = BC</i>) угол при вершине <i>C</i> равен 20°. Биссектрисы углов <i>A</i> и <i>B</i> пересекают боковые стороны треугольника соответственно в точках <i>A</i><sub>1</sub> и <i>B</i><sub>1</sub>. Докажите, что треугольник <i>A</i><sub>1</sub><i>OB</i><sub>1</sub> (где <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i>) является равносторонним.