Олимпиадные задачи из источника «VIII Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2012 г.)» для 10-11 класса - сложность 2 с решениями

Дан тетраэдр <i>ABCD</i>. Точка <i>X</i> выбрана вне тетраэдра так, что отрезок <i>XD</i> пересекает грань <i>ABC</i> во внутренней точке. Обозначим через <i>A', B', C'</i> проекции точки <i>D</i> на плоскости <i>XBC, XCA, XAB</i> соответственно. Докажите, что  <i>A'B' + B'C' + C'A' < DA + DB + DC</i>.

В окружность Ω вписан четырёхугольник <i>ABCD</i>, диагонали <i>AC</i> и <i>BD</i> которого перпендикулярны. На сторонах <i>AB</i> и <i>CD</i> во внешнюю сторону как на диаметрах построены дуги α и β. Рассмотрим две луночки, образованные окружностью Ω и дугами α и β (см. рис.). Докажите, что максимальные радиусы окружностей, вписанных в эти луночки, равны.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/116915/problem_116915_img_2.gif"></div>

При каких <i>n</i> можно оклеить в один слой поверхность клетчатого куба <i>n</i>×<i>n</i>×<i>n</i> бумажными прямоугольниками 1×2 так, чтобы каждый прямоугольник граничил по отрезкам сторон ровно с пятью другими?

Дан равнобедренный треугольник <i>ABC</i>, в котором  <i>BC = a</i>,  <i>AB = AC = b</i>.  На стороне <i>AC</i> во внешнюю сторону построен треугольник <i>ADC</i>, в котором

<i>AD = DC = a</i>.  Пусть <i>CM</i> и <i>CN</i> – биссектрисы в треугольниках <i>ABC</i> и <i>ADC</i> соответственно. Найдите радиус описанной окружности треугольника <i>CMN</i>.

<i>ABC</i> – равнобедренный прямоугольный треугольник. На продолжении гипотенузы <i>AB</i> за точку <i>A</i> взята точка <i>D</i> так, что  <i>AB</i> = 2<i>AD</i>. Точки <i>M</i> и <i>N</i> на стороне <i>AC</i> таковы, что  <i>AM = NC</i>.  На продолжении стороны <i>CB</i> за точку <i>B</i> взята такая точка <i>K</i>, что  <i>CN = BK</i>.  Найдите угол между прямыми <i>NK</i> и <i>DM</i>.

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> провели высоты <i>AA</i>₁ и <i>BB</i>₁, которые пересекаются в точке <i>O</i>. Затем провели высоту <i>A</i>₁<i>A</i>₂ треугольника <i>OBA</i>₁ и высоту <i>B</i>₁<i>B</i>₂ треугольника <i>OAB</i>₁. Докажите, что отрезок <i>A</i>₂<i>B</i>₂ параллелен стороне <i>AB</i>.

Квадрат <i>ABCD</i> вписан в окружность. Точка <i>M</i> лежит на дуге <i>BC</i>, прямая <i>AM</i> пересекает <i>BD</i> в точке <i>P</i>, прямая <i>DM</i> пересекает <i>AC</i> в точке <i>Q</i>.

Докажите, что площадь четырёхугольника <i>APQD</i> равна половине площади квадрата.

Дан прямоугольный треугольник <i>ABC</i>. Пусть <i>M</i> – середина гипотенузы <i>AB, O</i> – центр описанной окружности ω треугольника <i>CMB</i>. Прямая <i>AC</i> вторично пересекает окружность ω в точке <i>K</i>. Прямая <i>KO</i> пересекает описанную окружность треугольника <i>ABC</i> в точке <i>L</i>. Докажите, что прямые <i>AL</i> и <i>KM</i> пересекаются на описанной окружности треугольника <i>ACM</i>.