Олимпиадные задачи из источника «XII Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2016 г.)» для 9 класса - сложность 4 с решениями
XII Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2016 г.)
НазадДиагонали вписанного четырёхугольника <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>M</i>. Окружность ω касается отрезка <i>MA</i> в точке <i>P</i>, отрезка <i>MD</i> в точке <i>Q</i> и описанной окружности Ω четырёхугольника <i>ABCD</i> в точке <i>X</i>. Докажите, что <i>X</i> лежит на радикальной оси описанных окружностей ω<sub><i>Q</i></sub> и ω<sub><i>P</i></sub> треугольников <i>ACQ</i> и <i>BDP</i>.
Есть 101 жук, среди которых некоторые являются друзьями. Известно, что любые 100 жуков могут расположиться на плоскости так, что каждые два из них будут друзьями тогда и только тогда, когда расстояние между ними равно 1. Верно ли, что все жуки тоже могут расположиться таким же образом?
<i>BB</i><sub>1</sub> и <i>CC</i><sub>1</sub> – высоты треугольника <i>ABC</i>. Касательные к описанной окружности треугольника <i>AB</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> в точках <i>B</i><sub>1</sub> и <i>C</i><sub>1</sub> пересекают прямые <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i> соответственно. Докажите, что вторая точка пересечения описанных окружностей треугольников <i>AMN</i> и <i>AB</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> лежит на прямой Эйлера треугольника <i>ABC</i>.
В треугольнике <i>ABC O, M, N</i> – центр описанной окружности, центр тяжести и <i>точка Нагеля</i> соответственно.
Докажите, что угол <i>MON</i> прямой тогда и только тогда, когда один из углов треугольника равен 60°.
Дан треугольник <i>ABC</i>. Рассмотрим три окружности, первая из которых касается описанной окружности Ω в вершине <i>A</i>, а вписанной окружности ω внешним образом в какой-то точке <i>A</i><sub>1</sub>. Аналогично определяются точки <i>B</i><sub>1</sub> и <i>C</i><sub>1</sub>.
а) Докажите, что прямые <i>AA</i><sub>1</sub>, <i>BB</i><sub>1</sub> и <i>CC</i><sub>1</sub> пересекаются в одной точке.
б) Пусть <i>A</i><sub>2</sub> – точка касания ω со стороной <i>BC</i>. Докажите, что прямые <i>AA</i><sub>1</sub> и <i>AA</i><sub>2</sub&g...
Дан неравнобедренный остроугольный треугольник <i>ABC, BB</i><sub>1</sub> – его симедиана, луч <i>BB</i><sub>1</sub> вторично пересекает описанную окружность Ω в точке <i>L</i>. Пусть <i>H<sub>A</sub>, H<sub>B</sub>, H<sub>C</sub></i> – основания высот треугольника <i>ABC</i>, а луч <i>BH<sub>B</sub></i> вторично пересекает Ω в точке <i>T</i>. Докажите, что точки <i>H<sub>A</sub>, H<sub>C</sub>, T, L</i> лежат на одной окружности.