Олимпиадные задачи из источника «11 турнир (1989/1990 год)» для 8 класса - сложность 1-4 с решениями

В трапеции <i>ABCD  AB</i> – основание,  <i>AC = BC</i>,  <i>H</i> – середина <i>AB</i>. Пусть <i>l</i> – прямая, проходящая через точку <i>H</i> и пересекающая прямые <i>AD</i> и <i>BD</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно. Докажите, что либо углы <i>ACP</i> и <i>QCB</i> равны, либо их сумма равна 180°.

Четырёхугольник <i>ABCD</i> – ромб. На стороне <i>BC</i> взята точка <i>P</i>. Через точки <i>A, B</i> и <i>P</i> проведена окружность, которая пересекается с прямой <i>BD</i> ещё раз в точке <i>Q</i>. Через точки <i>C, P</i> и <i>Q</i> проведена окружность, которая пересекается с <i>BD</i> ещё раз в точке <i>R</i>. Докажите, что точки <i>A, R</i> и <i>P</i> лежат на одной прямой.

Если повернуть квадрат вокруг его центра на 45°, то стороны повёрнутого квадрата разобьют каждую сторону первоначального отрезка на три отрезка, длины которых относятся как  <i>a</i> : <i>b</i> : <i>a</i>  (эти отношения легко вычислить). Для произвольного выпуклого четырёхугольника сделаем аналогичное построение: разобьём каждую его сторону в тех же отношениях  <i>a</i> : <i>b</i> : <i>a</i>  и проведём прямую через каждые две точки деления, соседние с вершиной (лежащие на сходящейся к ней стороне). Докажите, что площадь четырёхугольника, ограниченного четырьмя построенными прямыми, равна площади исходного четырёхугольника.

Даны две окружности, лежащие одна вне другой. Пусть <i>A</i>₁ и <i>A</i>₂ – наиболее удалённые друг от друга точки пересечения этих окружностей с их линией центров, так что <i>A</i>₁ лежит на первой окружности, а <i>A</i>₂ – на второй. Из точки <i>A</i>₁ проведены два луча, касающиеся второй окружности, и построен круг <i>K</i>₁, касающийся этих лучей и первой окружности изнутри. Из точки <i>A</i>₂ проведены два луча, касающиеся первой окружности, и построен круг <i>K</i>₂, касающийся этих лучей и второй окружности...

В шестиугольнике <i>ABCDEF</i>, вписанном в окружность,  <i>AB = BC,  CD = DE,  EF = FA</i>.

Докажите, что площадь треугольника <i>BDF</i> равна половине площади шестиугольника.

Длины сторон остроугольного треугольника – последовательные целые числа.

Докажите, что высота, опущенная на среднюю по величине сторону, делит её на отрезки, разность длин которых равна 4.

На квадратный лист бумаги со стороной <i>a</i> посадили несколько клякс, площадь каждой из которых не больше 1. Оказалось, что каждая прямая, параллельная сторонам листа, пересекает не более одной кляксы. Докажите, что суммарная площадь клякс не больше <i>a</i>.

Хозяйка испекла для гостей пирог. За столом может оказаться либо <i>p</i> человек, либо <i>q</i> (<i>p</i> и <i>q</i> взаимно просты). На какое минимальное количество кусков (не обязательно равных) нужно заранее разрезать пирог, чтобы в любом случае его можно было раздать поровну?

Рассматривается набор гирь, каждая из которых весит целое число граммов, а общий вес всех гирь равен 500 граммов. Такой набор называется <i>правильным</i>, если любое тело, имеющее вес, выраженный целым числом граммов от 1 до 500, может быть уравновешено некоторым количеством гирь набора, и притом единственным образом (тело кладётся на одну чашку весов, гири – на другую; два способа уравновешивания, различающиеся лишь заменой некоторых гирь на другие того же веса, считаются одинаковыми).

  а) Приведите пример правильного набора, в котором не все гири по одному грамму.

  б) Сколько существует различных правильных наборов?

(Два набора различны, если некоторая гиря участвует в этих наборах не одинаковое число раз.)

Докажите, что при любом натуральном <i>n</i> найдётся ненулевой многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) с коэффициентами, равными 0, –1, 1, степени не больше 2^<i>n</i>, который делится на

(<i>x</i> – 1)^<i>n</i>.

Даны 103 монеты одинакового внешнего вида. Известно, что две из них – фальшивые, что все настоящие одинакового веса, что фальшивые – тоже одинакового веса, отличающегося от веса настоящих монет. Но неизвестно, в какую сторону отличаются веса фальшивых монет от настоящих. Как можно это узнать с помощью трёх взвешиваний на двухчашечных весах без гирь? (Отделить фальшивые монеты не требуется.)

Докажите, что

   а) если натуральное число <i>n</i> можно представить в виде  <i>n</i> = 4<i>k</i> + 1,  то существуют <i>n</i> нечётных натуральных чисел, сумма которых равна их произведению;

   б) если <i>n</i> нельзя представить в таком виде, то таких <i>n</i> нечётных натуральных чисел не существует.

Рассматривается набор гирь, каждая из которых весит целое число граммов, а общий вес всех гирь равен 200 граммов. Такой набор называется <i>правильным</i>, если любое тело, имеющее вес, выраженный целым числом граммов от 1 до 200, может быть уравновешено некоторым количеством гирь набора, и притом единственным образом (тело кладётся на одну чашку весов, гири - на другую; два способа уравновешивания, различающиеся лишь заменой некоторых гирь на другие того же веса, считаются одинаковыми).

  а) Приведите пример правильного набора, в котором не все гири по одному грамму.

  б) Сколько существует различных правильных наборов? (Два набора различны, если некоторая гиря участвует в этих наборах не одинаковое число раз.)

Сколько существует таких пар натуральных чисел  (<i>m, n</i>),  каждое из которых не превышает 1000, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98049/problem_98049_img_2.gif">

В ряд стоят 15 слонов, каждый из которых весит целое число килограммов. Если взять любого слона, кроме стоящего справа, и прибавить к его весу удвоенный вес его правого соседа, то получится 15 тонн (для каждого из 14 слонов). Найдите вес каждого из 15 слонов.

На какое максимальное число частей могут разбить координатную плоскость <i>xOy</i> графики 100 квадратных трехчлёнов вида

<i>y = a_nx</i>² + <i>b_nx + c_n</i>  (<i>n</i> = 1, 2, ..., 100)?

Дана 61 монета одинакового внешнего вида. Известно, что две из них – фальшивые, что все настоящие одинакового веса, что фальшивые – тоже одинакового веса, отличающегося от веса настоящих монет. Но неизвестно, в какую сторону отличаются веса фальшивых монет от настоящих. Как можно это узнать с помощью трёх взвешиваний на двухчашечных весах без гирь? (Определить фальшивые монеты не требуется.)

Дано 27 кубиков одинакового размера: 9 красных, 9 синих и 9 белых. Можно ли сложить из них куб таким образом, чтобы каждый столбик из трёх кубиков содержал кубики ровно двух цветов? (Рассматриваются столбики, параллельные всем ребрам куба, всего 27 столбиков.)

Докажите, что при любом натуральном <i>n</i>   <img align="middle" src="/storage/problem-media/98041/problem_98041_img_2.gif">

В прямоугольной таблице <i>m</i> строк и <i>n</i> столбцов  (<i>m < n</i>).  В некоторых клетках таблицы стоят звёздочки, так что в каждом столбце стоит хотя бы одна звёздочка. Докажите, что существует хотя бы одна такая звёздочка, что в одной строке с нею находится больше звёздочек, чем с нею в одном столбце.

Рассмотрим все возможные наборы чисел из множества  {1, 2, 3, ..., <i>n</i>},  не содержащие двух соседних чисел.

Докажите, что сумма квадратов произведений чисел в этих наборах равна  (<i>n</i> + 1)! – 1.

Существует ли 1000000 таких различных натуральных чисел, что никакая сумма нескольких из этих чисел не является полным квадратом?

10 друзей послали друг другу праздничные открытки, так что каждый послал пять открыток.

Докажите, что найдутся двое, которые послали открытки друг другу.

Правильный шестиугольник разрезан на <i>N</i> равновеликих параллелограммов. Доказать, что <i>N</i> делится на 3.

Имеется прямоугольная доска <i>m×n</i>, разделённая на клетки 1×1. Кроме того, имеется много косточек домино размером 1×2. Косточки уложены на доску, так что каждая косточка занимает две клетки. Доска заполнена не целиком, но так, что сдвинуть косточки невозможно (доска имеет бортики, так что косточки не могут выходить за пределы доски). Докажите, что число непокрытых клеток

  а) меньше  ^<i>mn</i>/₄;

  б) меньше  ^<i>mn</i>/₅.