Олимпиадные задачи из источника «11 турнир (1989/1990 год)» - сложность 2 с решениями

Даны две окружности, лежащие одна вне другой. Пусть <i>A</i>₁ и <i>A</i>₂ – наиболее удалённые друг от друга точки пересечения этих окружностей с их линией центров, так что <i>A</i>₁ лежит на первой окружности, а <i>A</i>₂ – на второй. Из точки <i>A</i>₁ проведены два луча, касающиеся второй окружности, и построен круг <i>K</i>₁, касающийся этих лучей и первой окружности изнутри. Из точки <i>A</i>₂ проведены два луча, касающиеся первой окружности, и построен круг <i>K</i>₂, касающийся этих лучей и второй окружности...

Длины сторон остроугольного треугольника – последовательные целые числа.

Докажите, что высота, опущенная на среднюю по величине сторону, делит её на отрезки, разность длин которых равна 4.

Докажите, что при любом натуральном <i>n</i> найдётся ненулевой многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) с коэффициентами, равными 0, –1, 1, степени не больше 2^<i>n</i>, который делится на

(<i>x</i> – 1)^<i>n</i>.

В ряд стоят 15 слонов, каждый из которых весит целое число килограммов. Если взять любого слона, кроме стоящего справа, и прибавить к его весу удвоенный вес его правого соседа, то получится 15 тонн (для каждого из 14 слонов). Найдите вес каждого из 15 слонов.

Дано 27 кубиков одинакового размера: 9 красных, 9 синих и 9 белых. Можно ли сложить из них куб таким образом, чтобы каждый столбик из трёх кубиков содержал кубики ровно двух цветов? (Рассматриваются столбики, параллельные всем ребрам куба, всего 27 столбиков.)

Докажите, что при любом натуральном <i>n</i>   <img align="middle" src="/storage/problem-media/98041/problem_98041_img_2.gif">

Можно ли так выбрать шар, треугольную пирамиду и плоскость, чтобы всякая плоскость, параллельная выбранной, пересекала шар и пирамиду по фигурам равной площади?

Числа 2¹⁹⁸⁹ и 5¹⁹⁸⁹ выписали одно за другим (в десятичной записи). Сколько всего цифр выписано?

Существует ли 1000000 таких различных натуральных чисел, что никакая сумма нескольких из этих чисел не является полным квадратом?

Найти число решений в натуральных числах уравнения   [^<i>x</i>/₁₀] = [^<i>x</i>/₁₁] + 1.

Дано 1989 чисел. Известно, что сумма любых десяти из них положительна. Докажите, что сумма всех чисел тоже положительна.

Три бегуна – <i>X, Y</i> и <i>Z</i> – участвуют в забеге. <i>Z</i> задержался на старте и выбежал последним, а <i>Y</i> выбежал вторым. <i>Z</i> во время забега менялся местами с другими участниками 6 раз, а <i>X</i> – 5 раз. Известно, что <i>Y</i> финишировал раньше <i>X</i>. В каком порядке они финишировали?

С помощью циркуля и линейки постройте выпуклый четырёхугольник по серединам его трёх равных сторон.