Олимпиадные задачи из источника «12 турнир (1990/1991 год)» для 2-9 класса - сложность 2-3 с решениями

На основании <i>AB</i> равнобедренного треугольника <i>ABC</i> выбрана точка <i>D</i> так, что окружность, вписанная в треугольник <i>BCD</i>, имеет тот же радиус, что и окружность, касающаяся продолжений отрезков <i>CA</i> и <i>CD</i> и отрезка <i>AD</i> (вневписанная окружность треугольника <i>ACD</i>). Докажите, что этот радиус равен одной четверти высоты треугольника <i>ABC</i>, опущенной на его боковую сторону.

Дана фиксированная хорда <i>MN</i> окружности, не являющаяся диаметром. Для каждого диаметра <i> AB </i> этой окружности, не проходящего через точки <i>M</i> и <i>N</i>, рассмотрим точку <i>C</i>, в которой пересекаются прямые <i>AM</i> и <i>BN</i>, и проведём через неё прямую <i>l</i>, перпендикулярную <i>AB</i>. Докажите, что все прямые <i>l</i> проходят через одну точку.

В описанном пятиугольнике <i>ABCDE</i> диагонали <i>AD</i> и <i>CE</i> пересекаются в центре <i>O</i> вписанной окружности.

Докажите, что отрезок <i>BO</i> и сторона <i>DE</i> перпендикулярны.

На окружности даны точки <i>K</i> и <i>L</i>. Постройте такой треугольник <i>ABC</i>, что <i>KL</i> является его средней линией, параллельной <i>AB</i>, и при этом точка <i>C</i> и точка пересечения медиан треугольника <i>ABC</i> лежат на данной окружности.

Каждая из трёх окружностей радиусов соответственно 1, <i>r</i> и <i>r</i> извне касается двух других.

При каких значениях <i>r</i> существует треугольник, описанный около этих окружностей?

На дуге <i>AC</i> описанной окружности правильного треугольника <i>ABC</i> взята точка <i>M</i>, отличная от <i>C</i>, <i>P</i> – середина этой дуги. Пусть <i>N</i> – середина хорды <i>BM, K</i> – основание перпендикуляра, опущенного из точки <i>P</i> на <i>MC</i>. Докажите, что треугольник <i>ANK</i> правильный.

Стороны <i>AB, BC, CD</i> и <i>DA</i> четырёхугольника <i>ABCD</i> равны соответственно сторонам <i>A'B', B'C', C'D'</i> и <i>D'A'</i> четырёхугольника <i>A'B'C'D'</i>, причём известно, что  <i>AB || CD</i>  и  <i>B'C' || D'A'</i>.  Докажите, что оба четырёхугольника – параллелограммы.

Для каждой точки <i>C</i> полуокружности с диаметром <i>AB</i> (<i>C</i> отлична от <i>A</i> и <i>B</i>) на сторонах <i>AC</i> и <i>BC</i> треугольника <i>ABC</i> построены вне треугольника квадраты. Найдите геометрическое место середин отрезков, соединяющих их центры.

Вершины правильного треугольника расположены на сторонах <i>AB</i>, <i>CD</i> и <i>EF</i> правильного шестиугольника <i>ABCDEF</i>.

Докажите, что эти треугольник и шестиугольник имеют общий центр.

В соревновании участвуют 32 боксёра. Каждый боксёр в течение одного дня может проводить только один бой. Известно, что все боксёры имеют разную силу, и что сильнейший всегда выигрывает. Докажите, что за 15 дней можно определить место каждого боксёра.

(Расписание каждого дня соревнований составляется вечером накануне и в день соревнований не изменяется.)

Сумма <i>n</i> чисел равна нулю, а сумма их квадратов равна единице. Докажите, что среди этих чисел найдутся два, произведение которых не больше  – ¹/_<i>n</i>.

  а) Можно ли расположить пять деревянных кубов в пространстве так, чтобы каждый имел общую часть грани с каждым? (Общая часть должна быть многоугольником.)

  б) Тот же вопрос про шесть кубов.

На доске выписаны числа 1, ½, &frac13;, ..., ¹/₁₀₀. Выбираем из написанных на доске два произвольных числа <i>a</i> и <i>b</i>, стираем их и пишем на доску число

<i>a + b + ab</i>.  Такую операцию проделываем 99 раз, пока не останется одно число. Какое это число? Найдите его и докажите, что оно не зависит от последовательности выбора чисел.

Укажите все такие натуральные <i>n</i> и целые неравные друг другу <i>x</i> и <i>y</i>, при которых верно равенство:   <i>x + x</i>² + <i>x</i>⁴ + ... + <i>x</i>^{2^<i>n</i>} = <i>y + y</i>² + <i>y</i>⁴ + ... + <i>y</i>^{2^<i>n</i>}.  

В королевстве восемь городов. Король хочет построить такую систему дорог, чтобы из каждого города можно было попасть в любой другой, минуя не более одного промежуточного города, и чтобы из каждого города выходило не более <i>k</i> дорог. При каких <i>k</i> это возможно?

Ищутся такие натуральные числа, оканчивающиеся на 5, что в их десятичной записи цифры монотонно не убывают (то есть каждая цифра, начиная со второй, не меньше предыдущей цифры), и в десятичной записи их квадрата цифры тоже монотонно не убывают.

  а) Найдите четыре таких числа.

  б) Докажите, что таких чисел бесконечно много.

Докажите, что произведение 99 дробей   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98085/problem_98085_img_2.gif">   где  <i>k</i> = 2, 3, ..., 100,  больше &frac23;.

В ряд стоят 30 сапог: 15 левых и 15 правых. Докажите, что среди некоторых десяти подряд стоящих сапог левых и правых поровну.

Имеется <i>n</i> целых чисел  (<i>n</i> > 1).  Известно, что каждое из них отличается от произведения всех остальных на число, кратное <i>n</i>.

Докажите, что сумма квадратов этих чисел делится на <i>n</i>.

На плоскости расположено 20 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, из них 10 синих и 10 красных.

Докажите, что можно провести прямую, по каждую сторону которой лежит пять синих и пять красных точек.

Рассматривается конечное множество <i>M</i> единичных квадратов на плоскости. Их стороны параллельны осям координат (разрешается, чтобы квадраты пересекались). Известно, что для любой пары квадратов расстояние между их центрами не больше 2. Докажите, что существует единичный квадрат (не обязательно из множества <i>M</i>) со сторонами, параллельными осям, пересекающийся хотя бы по точке с каждым квадратом множества <i>M</i>.

В нашем распоряжении имеются "кирпичи", имеющие форму, которая получается следующим образом: приклеиваем к одному единичному кубу по трём его граням, имеющим общую вершину, ещё три единичных куба, так что склеиваемые грани полностью совпадают. Можно ли сложить прямоугольный параллелепипед 11×12×13 из таких "кирпичей"?

На стене висят двое правильно идущих совершенно одинаковых часов. Одни показывают московское время, другие – местное. Минимальное расстояние между концами их часовых стрелок равно <i>m</i>, а максимальное – <i>M</i>. Найдите расстояние между центрами этих часов.

В клетках доски  <i>n×n</i>  произвольно расставлены числа от 1 до <i>n</i>². Докажите, что найдутся две такие соседние клетки (имеющие общую вершину или общую сторону), что стоящие в них числа отличаются не меньше чем на  <i>n</i> + 1.

В колоду сложено <i>n</i> различных карт. Разрешается переложить любое число рядом лежащих карт (не меняя порядок их следования и не переворачивая) в другое место колоды. Требуется несколькими такими операциями переложить все <i>n</i> карт в обратном порядке.

  а) Докажите, что при  <i>n</i> = 9  это можно сделать за 5 операций;

Докажите, что при  <i>n</i> = 52  это

  б) можно сделать за 27 операций;

  в) нельзя сделать за 17 операций;

  г) нельзя сделать за 26 операций.