Олимпиадные задачи из источника «20 турнир (1998/1999 год)» для 9-10 класса - сложность 2-3 с решениями

В треугольнике <i>ABC</i> точки <i>A', B', C'</i> лежат на сторонах <i>BC, CA</i> и <i>AB</i> соответственно. Известно, что  ∠<i>AC'B'</i> = ∠<i>B'A'C</i>,  ∠<i>CB'A'</i> = ∠<i>A'C'B</i>,  ∠<i>BA'C'</i> = ∠<i>C'B'A</i>.  Докажите, что точки <i> A', B', C'</i> – середины сторон треугольника <i>ABC</i>.

Диагонали параллелограмма <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Описанная окружность треугольника <i>AOB</i> касается прямой <i>BC</i>.

Докажите, что описанная окружность треугольника <i>BOC</i> касается прямой <i>CD</i>.

Вписанная окружность треугольника <i>ABC</i> касается сторон <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно. Пусть <i>RS</i> – средняя линия треугольника, параллельная <i>AB, T</i> – точка пересечения прямых <i>PQ</i> и <i>RS</i>. Докажите, что <i>T</i> лежит на биссектрисе угла <i>B</i> треугольника.

На гипотенузе <i>AB</i> прямоугольного треугольника <i>ABC</i> во внешнюю сторону построен квадрат <i>ABDE</i>. Известно, что  <i>AC</i> = 1,   <i>BC</i> = 3.

В каком отношении делит сторону <i>DE</i> биссектриса угла <i>C</i>?

Отрезок <i>AB</i> пересекает две равные окружности и параллелен их линии центров, причём все точки пересечения прямой <i>AB</i> с окружностями лежат между <i>A</i> и <i>B</i>. Через точку <i>A</i> проводятся касательные к окружности, ближайшей к <i>A</i>, через точку <i>B</i> – касательные к окружности, ближайшей к <i>B</i>. Оказалось, что эти четыре касательные образуют четырёхугольник, содержащий внутри себя обе окружности. Докажите, что в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Для каждого целого неотрицательного числа <i>i</i> определим число <i>M</i>(<i>i</i>) следующим образом: запишем число <i>i</i> в двоичной форме; если число единиц в этой записи чётно, то <i>M</i>(<i>i</i>) = 0, а если нечётно – то 1 (первые члены этой последовательности: 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, ... ).

  а) Рассмотрим конечную последовательность  <i>M</i>(0), <i>M</i>(1), ... , <i>M</i>(1000).  Докажите, что число членов этой последовательности, равных своему правому соседу, не меньше 320.

  б) Рассмотрим конечную последовательность  <i>M</i>(0), <i>M</i>(1), ..., <i>M</i>(1000000).  Докажите, что число таких членов последовательности, что  &...

2<i>n</i> радиусов разделили круг на 2<i>n</i> равных секторов: <i>n</i> синих и <i>n</i> красных, чередующихся в произвольном порядке. В синие сектора, начиная с некоторого, записывают против хода часовой стрелки числа от 1 до <i>n</i>. В красные сектора, начиная с некоторого, записывают те же числа, но по ходу часовой стрелки. Докажите, что найдётся полукруг, в котором записаны все числа от 1 до <i>n</i>.

Найдите все пары целых чисел  (<i>x, y</i>),  для которых числа  <i>x</i>³ + <i>y</i>  и  <i>x + y</i>³  делятся на  <i>x</i>² + <i>y</i>².

Четырёхугольник <i>ABCD</i> вписан в окружность с центром <i>O</i>. Описанные окружности треугольников <i>ABO</i> и <i>CDO</i>, пересеклись второй раз в точке <i>F</i>. Докажите, что описанная окружность треугольника <i>AFD</i> проходит через точку <i>E</i> пересечения отрезков <i>AC</i> и <i>BD</i>.

В море плавает предмет, имеющий форму выпуклого многогранника.

Может ли случиться, что 90% его объёма находится ниже уровня воды и при этом больше половины его поверхности находится выше уровня воды?

Играют двое. Первый выписывает в строку слева направо цифры, произвольно чередуя 0 и 1, пока цифр не станет всего 1999. Каждый раз после того, как первый выписал очередную цифру, второй меняет между собой две цифры из уже написанного ряда (когда написана только одна цифра, второй пропускает ход). Всегда ли второй может добиться того, чтобы после его последнего хода расположение цифр было симметричным относительно средней цифры?

Игра происходит на квадрате клетчатой бумаги 9×9. Играют двое, ходят по очереди. Начинающий игру ставит в свободные клетки крестики, его партнер – нолики. Когда все клетки заполнены, подсчитывается количество К строк и столбцов, в которых крестиков больше, чем ноликов,и количество Н строк и столбцов, в которых ноликов больше, чем крестиков. Разность  В = К – Н  считается выигрышем игрока, который начинает. Найдите такое значение B, что

  1) первый игрок может обеспечить себе выигрыш не меньше B, как бы ни играл второй игрок;

  2) второй игрок всегда может добиться того, что первый получит выигрыш не больше B, как бы тот ни играл.

В ряд стоят 1999 чисел. Первое число равно 1. Известно, что каждое число, кроме первого и последнего, равно сумме двух соседних.

Найдите последнее число.

На доске написано несколько целых положительных чисел: <i>a</i>₀, <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ... , <i>a_n</i>. Пишем на другой доске следующие числа: <i>b</i>₀ – сколько всего чисел на первой доске, <i>b</i>₁ – сколько там чисел, больших единицы, <i>b</i>₂ – сколько чисел, больших двойки, и т.д., пока получаются положительные числа. На этом заканчиваем – нули не пишем. На третьей доске пишем числа <i>c</i>₀, <i>c</i>₁, <i>c</i>₂, ... , построенные по ч...

Будем называть "размером" прямоугольного параллелепипеда сумму трёх его измерений – длины, ширины и высоты.

Может ли случиться, что в некотором прямоугольном параллелепипеде поместился больший по размеру прямоугольный параллелепипед?

За круглым столом были приготовлены 12 мест для жюри с указанием имени на каждом месте. Николай Николаевич, пришедший первым, по рассеянности сел не на своё, а на следующее по часовой стрелке место. Каждый член жюри, подходивший к столу после этого, занимал своё место или, если оно уже было занято, шёл вокруг стола по часовой стрелке и садился на первое свободное место. Возникшее расположение членов жюри зависит от того, в каком порядке они подходили к столу. Сколько может возникнуть различных способов рассадки жюри?

В таблицу записано девять чисел: <div align="center"><img src="/storage/problem-media/98418/problem_98418_img_2.gif"></div>Известно, что шесть чисел – суммы строк и суммы столбцов таблицы – равны между собой:<div align="center"><i>a</i>₁ + <i>a</i>₂ + <i>a</i>₃ = <i>b</i>₁ + <i>b</i>₂ + <i>b</i>₃ = <i>c</i>₁ + <i>c</i>₂ + <i>c</i>₃ = <i>a</i>₁ + <i>b</i>₁ + &...

Пусть <i>a, b, c</i> – натуральные числа.

а) Докажите, что если  НОК(<i>a, a</i> + 5) = HOK(<i>b, b</i> + 5),  то  <i>a = b</i>.

б) Могут ли  НОК(<i>a, b</i>)  и  НОК(<i>а + с, b + с</i>)  быть равны?

Группа психологов разработала тест, пройдя который, каждый человек получает оценку – число <i>Q</i> – показатель его умственных способностей (чем больше <i>Q</i>, тем больше способности). За <i>рейтинг</i> страны принимается среднее арифметическое значений <i>Q</i> всех жителей этой страны.

  а) Группа граждан страны А эмигрировала в страну Б. Покажите, что при этом у обеих стран мог вырасти рейтинг.

  б) После этого группа граждан страны Б (в числе которых могут быть и бывшие эмигранты из А) эмигрировала в страну А. Возможно ли, что рейтинги обеих стран опять выросли?

  в) Группа граждан страны А эмигрировала в страну Б, а группа граждан Б – в страну В. В результате этого рейтинги каждой страны оказались выше первоначальных. После э...

Рассматриваются такие наборы действительных чисел  {<i>x</i>₁, <i>x</i>₂, <i>x</i>₃, ..., <i>x</i>₂₀},  заключённых между 0 и 1, что  <i>x</i>₁<i>x</i>₂<i>x</i>₃...<i>x</i>₂₀ = (1 – <i>x</i>₁)(1 – <i>x</i>₂)(1 – <i>x</i>₃)...(1 – <i>x</i>₂₀).  Найдите среди этих наборов такой, для которого значение <i>x</i>₁<i>x</i><sub>2<...

На шахматной доске размером 8×8 отметили 17 клеток.

Докажите, что из них можно выбрать две так, что коню нужно не менее трёх ходов для попадания с одной из них на другую.

<i>n</i> бумажных кругов радиуса 1 уложены на плоскость таким образом, что их границы проходят через одну точку, причём эта точка находится внутри области, покрытой кругами. Эта область представляет собой многоугольник с криволинейными сторонами. Найдите его периметр. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/98412/problem_98412_img_2.gif"></div>

Имеется 19 гирек весов 1, 2, 3, ..., 19 г: девять железных, девять бронзовых и одна золотая. Известно, что общий вес всех железных гирек на 90 г больше общего веса бронзовых. Найдите вес золотой гирьки.

Имеется 20 бусинок десяти цветов, по две бусинки каждого цвета. Их как-то разложили в 10 коробок. Известно, что можно выбрать по бусинке из каждой коробки так, что все цвета будут представлены. Докажите, что число способов такого выбора есть ненулевая степень двойки.

В правильном 25-угольнике проведены все диагонали. Докажите, что нет девяти диагоналей, проходящих через одну внутреннюю точку 25-угольника.