Олимпиадные задачи из источника «20 турнир (1998/1999 год)» - сложность 4 с решениями

Ладья, делая ходы по вертикали и горизонтали на соседнее поле, за 64 хода обошла все поля шахматной доски 8×8 и вернулась на исходное поле. Докажите, что число ходов по вертикали не равно числу ходов по горизонтали.

Дана функция   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98421/problem_98421_img_2.gif"> ,   где трёхчлены  <i>x</i>² + <i>ax + b</i>  и  <i>x</i>² + <i>cx + d</i>  не имеют общих корней. Докажите, что следующие два утверждения равносильны:

  1) найдётся числовой интервал, свободный от значений функции;

  2)  <i>f</i>(<i>x</i>) представима в виде:  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>f</i>₁(<i>f</i>₂(...<i>f</i>_<i>n</i>–1(<i>f_n</i>(<i>x</i>))...)),  где каждая из функций  <i>f_i...