Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, основной вариант, 10-11 класс» - сложность 3 с решениями

а) Несколько чёрных квадратов со стороной 1 см прибиты к белой плоскости одним гвоздём толщины 0,1 см (гвоздь не задевает границ квадратов). Образовалась многоугольная чёрная фигура. Может ли периметр этой фигуры быть больше 1 км? б) Та же задача, но гвоздь имеет толщину 0 (то есть "пробивает" квадрат в точке). в) Несколько чёрных квадратов со стороной 1 лежат на белой плоскости, образуя многоугольную чёрную фигуру (возможно, состоящую из нескольких кусков и имеющую дырки). Может ли отношение периметра этой фигуры к её площади быть больше 100000?

Клетки доски <i>m</i>×<i>n</i> покрашены в два цвета. Известно, что на какую бы клетку ни поставить ладью, она будет бить больше клеток не того цвета, на котором стоит (клетка под ладьей тоже считается побитой). Докажите, что на каждой вертикали и каждой горизонтали клеток обоих цветов поровну.

Целые ненулевые числа <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a_n</i> таковы, что равенство <div align="center"><img src="/storage/problem-media/98505/problem_98505_img_2.gif"></div>выполнено при всех целых значениях<i>x</i>, входящих в область определения дроби, стоящей в левой части.   a) Докажите, что число<i>n</i>чётно.   б) При каком наименьшем<i>n</i>такие числа существуют?