Олимпиадные задачи из источника «23 турнир (2001/2002 год)» для 8 класса - сложность 2 с решениями

Пусть <i>a, b, c</i> – стороны треугольника. Докажите неравенство  <i>a</i>³ + <i>b</i>³ + 3<i>abc > c</i>³.

На клетчатой доске размером 23×23 клетки стоят четыре фишки: в левом нижнем и в правом верхнем углах доски – по белой фишке, а в левом верхнем и в правом нижнем углах - по чёрной. Белые и чёрные фишки ходят по очереди, начинают белые. Каждым ходом одна из фишек сдвигается на любую соседнюю (по стороне) свободную клетку. Белые фишки стремятся попасть в две соседние по стороне клетки. Могут ли чёрные им помешать?

Стороны <i>AB, BC, CD</i> и <i>DA</i> четырёхугольника <i>ABCD</i> касаются некоторой окружности в точках <i>K, L, M</i> и <i>N</i> соответственно, <i>S</i> – точка пересечения отрезков <i>KM</i> и <i>LN</i>. Известно, что вокруг четырёхугольника <i>SKBL</i> можно описать окружность. Докажите, что вокруг четырёхугольника <i>SNDM</i> также можно описать окружность.

Для натуральных чисел <i>x</i> и <i>y</i> число  <i>x</i>² + <i>xy + y</i>²  в десятичной записи оканчивается нулем. Докажите, что оно оканчивается хотя бы двумя нулями.

Можно ли разрезать какой-нибудь треугольник на четыре выпуклые фигуры: треугольник, четырёхугольник, пятиугольник и шестиугольник?

Имеется много одинаковых прямоугольных картонок размером <i>a</i>×<i>b</i> см, где <i>a</i> и <i>b</i> – целые числа, причём  <i>a < b</i>.  Известно, что из таких картонок можно сложить и прямоугольник 49×51 см, и прямоугольник 99×101 см. Можно ли по этим данным однозначно определить <i>a</i> и <i>b</i>?

Существуют ли такие натуральные числа  <i>a</i>₁ < <i>a</i>₂ < <i>a</i>₃ < ... < <i>a</i>₁₀₀,  что  НОД(<i>a</i>₁, <i>a</i>₂) > НОД(<i>a</i>₂, <i>a</i>₃) > ... > НОД(<i>a</i>₉₉, <i>a</i>₁₀₀)?

В Колиной коллекции есть четыре царские золотые пятирублевые монеты. Коле сказали, что какие-то две из них фальшивые. Коля хочет проверить (доказать или опровергнуть), что среди монет есть ровно две фальшивые. Удастся ли ему это сделать с помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь? (Фальшивые монеты одинаковы по весу, настоящие тоже одинаковы по весу, но фальшивые легче настоящих.)

Cлава перемножил первые <i>n</i> натуральных чисел, а Валера перемножил первые <i>m</i> чётных натуральных чисел (<i>n</i> и <i>m</i> больше 1). В результате у них получилось одно и то же число. Докажите, что хотя бы один из мальчиков ошибся.

В трапеции <i>ABCD</i> на боковой стороне <i>AB</i> дана точка <i>K</i>. Через точку <i>A</i> провели прямую <i>l</i>, параллельную прямой <i>KC</i>, а через точку <i>B</i> – прямую <i>m</i>, параллельную прямой <i>KD</i>. Докажите, что точка пересечения прямых <i>l</i> и <i>m</i> лежит на стороне <i>CD</i>.