Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс» для 7-10 класса - сложность 1-3 с решениями

Известно, что среди членов некоторой арифметической прогрессии <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, <i>a</i>₄, ... есть числа  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65407/problem_65407_img_2.gif">

Докажите,что эта прогрессия состоит из целых чисел.

Периметр выпуклого четырёхугольника равен 2004, одна из диагоналей равна 1001. Может ли вторая диагональ быть равна  а) 1;  б) 2;  в) 1001?

Звенья <i>AB, BC</i> и <i>CD</i> ломаной <i>ABCD</i> равны по длине и касаются некоторой окружности.

Доказать, что точка <i>K</i> касания этой окружности со звеном <i>BC</i>, её центр <i>O</i> и точка пересечения прямых <i>AC</i> и <i>BD</i> лежат на одной прямой.

Два десятизначных числа назовем <i>соседними</i>, если они различаются только одной цифрой в каком-то из разрядов (например, 1234567890 и 1234507890 соседние). Какое наибольшее количество десятизначных чисел можно выписать так, чтобы среди них не было соседних?

К натуральному числу  <i>a</i> > 1  приписали это же число и получили число <i>b</i>, кратное <i>a</i>². Найдите все возможные значения числа  ^<i>b</i>/_<i>a</i>².