Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, базовый вариант, 10-11 класс» - сложность 2-4 с решениями

Дан выпуклый четырёхугольник <i>ABCD</i>. Пешеход Петя выходит из вершины <i>A</i>, идёт по стороне <i>AB</i> и далее по контуру четырёхугольника. Пешеход Вася выходит из вершины <i>A</i> одновременно с Петей, идёт по диагонали <i>AC</i> и одновременно с Петей приходит в <i>C</i>. Пешеход Толя выходит из вершины <i>B</i> в тот момент, когда её проходит Петя, идёт по диагонали <i>BD</i> и одновременно с Петей приходит в <i>D</i>. Скорости пешеходов постоянны.

Могли ли Вася и Толя прийти в точку пересечения диагоналей <i>O</i> одновременно?

Натуральные числа <i>a, b, c, d</i> попарно взаимно просты и удовлетворяют равенству  <i>ab + cd = ac</i> – 10<i>bd</i>.

Докажите, что среди них найдутся три числа, одно из которых равно сумме двух других.

В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i> диагонали перпендикулярны. На сторонах <i>AD</i> и <i>CD</i> отмечены соответственно точки <i>M</i> и <i>N</i> так, что углы <i>ABN</i> и <i>CBM</i> прямые. Докажите, что прямые <i>AC</i> и <i>MN</i> параллельны.

У Чебурашки есть набор из 36 камней массами 1 г, 2 г, ..., 36 г, а у Шапокляк есть суперклей, одной каплей которого можно склеить два камня в один (соответственно, можно склеить три камня двумя каплями и так далее). Шапокляк хочет склеить камни так, чтобы Чебурашка не смог из получившегося набора выбрать один или несколько камней общей массой 37 г. Какого наименьшего количества капель клея ей хватит, чтобы осуществить задуманное?

На переправу через пролив Босфор выстроилась очередь: первый Али-Баба, за ним 40 разбойников. Лодка одна, в ней могут плыть двое или трое (в одиночку плыть нельзя). Среди плывущих в лодке не должно быть людей, которые не дружат между собой. Смогут ли все они переправиться, если каждые двое рядом стоящих в очереди – друзья, а Али-Баба ещё дружит с разбойником, стоящим через одного от него?