Олимпиадные задачи из источника «6 турнир (1984/1985 год)» для 10 класса - сложность 3 с решениями

В классе 32 ученика. Было организовано 33 кружка, причём каждый кружок состоит из трёх человек и никакие два кружка не совпадают по составу. Доказать, что найдутся такие два кружка, которые пересекаются ровно по одному ученику.

В таблицу 10×10 нужно записать в каком-то порядке цифры  0, 1, 2, 3, ..., 9  так, что каждая цифра встречалась бы 10 раз.

  а) Можно ли это сделать так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце встречалось не более четырёх различных цифр?

  б) Докажите, что найдётся строка или столбец, в которой (в котором) встречается не меньше четырёх различных чисел.

Набор чисел  <i>A</i>₁, <i>A</i>₂, ..., <i>A</i>₁₀₀  получен некоторой перестановкой из чисел 1, 2, ..., 100. Образуют сто чисел:

      <i>B</i>₁ = <i>A</i>₁,  <i>B</i>₂ = <i>A</i>₁ + <i>A</i>₂,  <i>B</i>₃ = <i>A</i>₁ + <i>A</i>₂ + <i>A</i>₃,  ...,  <i>B</i>₁₀₀ = <i>A</i>₁ + <i>A</i><sub>2...