Олимпиадные задачи из источника «08 (1985)» - сложность 2-3 с решениями

Определить наибольшее значение отношения трёхзначного числа к числу, равному сумме цифр этого числа.

Вершины параллелограмма <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁ лежат на сторонах параллелограмма <i>ABCD</i> (точка <i>A</i>₁ лежит на стороне <i>AB</i>, точка <i>B</i>₁ – на стороне <i>BC</i> и т. д.).

Докажите, что центры обоих параллелограммов совпадают.

Между соседними лагерями 1 день пути. Экспедиции требуется перенести 1 банку консервов в лагерь, находящийся в 5 днях пути от базового и вернуться обратно. При этом: — каждый член экспедиции может нести с собой не более 3 банок консервов; — за 1 день он съедает 1 банку консервов; — оставлять консервы можно только в лагерях.Какое наименьшее количество банок консервов придется взять из базового лагеря для этой цели?

В классе 25 человек. Известно, что среди любых трех из них есть двое друзей. Докажите, что есть ученик, у которого не менее 12 друзей.

В классе каждый мальчик дружит ровно с двумядевочками, а каждая девочка — ровно с тремя мальчиками. Еще известно, что в классе 31 пионер и 19 парт. Сколько человек в этом классе?

Передние покрышки автомобиля "Антилопа Гну" выходят из строя через 25000 км, а задние – через 15000 км. Когда О. Бендер должен поменять их местами, чтобы машина прошла максимальное расстояние? Чему равно это расстояние?

Было семь ящиков. В некоторые из них положили еще по семь ящиков (не вложенных друг в друга) и т. д. В итоге стало 10 непустых ящиков.

Сколько всего стало ящиков?

Дано 25 чисел. Сумма любых четырех из них положительна. Докажите, что сумма их всех тоже положительна.

Какое наименьшее число карточек спортлото (6 из 49) надо купить, чтобы наверняка хоть в одной из них был угадан хоть один номер?

На столе стоят 16 стаканов. Из них 15 стаканов стоят правильно, а один перевёрнут донышком вверх. Разрешается одновременно переворачивать любые четыре стакана. Можно ли, повторяя эту операцию, поставить все стаканы правильно?