Олимпиадные задачи из источника «1992-1993» для 9 класса - сложность 4-5 с решениями

В колоде<i> n </i>карт. Часть из них лежит рубашками вверх, остальные – рубашками вниз. За один ход разрешается взять несколько карт сверху, перевернуть полученную стопку и снова положить ее сверху колоды. За какое наименьшее число ходов при любом начальном расположении карт можно добиться того, чтобы все карты лежали рубашками вниз?

У каждого из жителей города<i> N </i>знакомые составляют не менее 30 населения города. Житель идет на выборы, если баллотируется хотя бы один из его знакомых. Докажите, что можно так провести выборы мэра города<i> N </i>из двух кандидатов, что в них примет участие не менее половины жителей.

В семейном альбоме есть десять фотографий. На каждой из них изображены три человека: в центре стоит мужчина, слева от мужчины – его сын, а справа – его брат. Какое наименьшее количество различных людей может быть изображено на этих фотографиях, если известно, что все десять мужчин, стоящих в центре, различны?

За круглым столом сидит компания из тридцати человек. Каждый из них либо дурак, либо умный. Всех сидящих спрашивают: Кто Ваш сосед справа – умный или дурак? В ответ умный говорит правду, а дурак может сказать как правду, так и ложь. Известно, что количество дураков не превосходит<i> F </i>. При каком наибольшем значении<i> F </i>всегда можно, зная эти ответы, указать на умного человека в этой компании?

Докажите, что существует такое натуральное число<i> n </i>, что если правильный треугольник со стороной<i> n </i>разбить прямыми, параллельными его сторонам, на<i> n² </i>правильных треугольников со стороной 1, то среди вершин этих треугольников можно выбрать1993<i>n </i>точек, никакие три из которых не являются вершинами правильного треугольника (не обязательно со сторонами, параллельными сторонам исходного треугольника).

Два прямоугольных треугольника расположены на плоскости так, что их медианы, проведенные к гипотенузам, параллельны. Докажите, что угол между некоторым катетом одного треугольника и некоторым катетом другого треугольника вдвое меньше угла между их гипотенузами.

Дан правильный треугольник<i> ABC </i>. Через вершину<i> B </i>проводится произвольная прямая<i> l </i>, а через точки<i> A </i>и<i> C </i>проводятся прямые, перпендикулярные прямой<i> l </i>, пересекающие её в точках<i> D </i>и<i> E </i>. Затем, если точки<i> D </i>и<i> E </i>различны, строятся правильные треугольники<i> DEP </i>и<i> DET </i>, лежащие по разные стороны от прямой<i> l </i>. Найдите геометрическое место точек<i> P </i>и<i> T </i>.