Олимпиадные задачи из источника «Заключительный этап» для 11 класса - сложность 2-4 с решениями
На прямой отмечены<i> n </i>различных синих точек и<i> n </i>различных красных точек. Докажите, что сумма попарных расстояний между точками одного цвета не превосходит суммы попарных расстояний между точками разного цвета.
Докажите, что если(<i>x+<img src="/storage/problem-media/109565/problem_109565_img_2.gif"></i>)(<i>y+<img src="/storage/problem-media/109565/problem_109565_img_3.gif"></i>)<i>=</i>1, то<i> x+y=</i>0.
Функции <i>f</i>(<i>x</i>) и <i>g</i>(<i>x</i>) определены на множестве целых чисел, не превосходящих по модулю 1000. Обозначим через <i>m</i> число пар (<i>x, y</i>), для которых
<i>f</i>(<i>x</i>) = <i>g</i>(<i>y</i>), через <i>n</i> – число пар, для которых <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>f</i>(<i>y</i>), а через <i>k</i> – число пар, для которых <i>g</i>(<i>x</i>) = <i>g</i>(<i>y</i>). Докажите, что 2<i>m ≤ n + k</i>.
В правильном (6<i>n</i>+1)-угольнике <i>K</i> вершин покрашено в красный цвет, а остальные – в синий.
Докажите, что количество равнобедренных треугольников с одноцветными вершинами не зависит от способа раскраски.
Игроки <i>A</i> и <i>B</i> по очереди ходят конем на шахматной доске 1994×1994. Игрок <i>A</i> может делать только горизонтальные ходы, то есть такие, при которых конь перемещается на соседнюю горизонталь. Игроку <i>B</i> разрешены только вертикальные ходы, при которых конь перемещается на соседнюю вертикаль. Игрок <i>A</i> ставит коня на поле, с которого начинается игра, и делает первый ход. При этом каждому игроку запрещено ставить коня на то поле, на котором он уже побывал в данной игре. Проигравшим считается игрок, которому некуда ходить. Докажите, что для игрока <i>A</i> существует выигрышная стратегия.
Высоты <i>AA</i><sub>1</sub>, <i>BB</i><sub>1</sub>, <i>CC</i><sub>1</sub> и <i>DD</i><sub>1</sub> тетраэдра <i>ABCD</i> пересекаются в центре <i>H</i> сферы, вписанной в тетраэдр <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub><i>D</i><sub>1</sub>.
Докажите, что тетраэдр <i>ABCD</i> – правильный.
Дана последовательность натуральных чисел <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i>, в которой <i>a</i><sub>1</sub> не делится на 5 и для всякого <i>n</i> <i>a</i><sub><i>n</i>+1</sub> = <i>a<sub>n</sub> + b<sub>n</sub></i>, где <i>b<sub>n</sub></i> – последняя цифра числа <i>a<sub>n</sub></i>. Докажите, что последовательность содержит бесконечно много степеней двойки.
Две окружности<i>S</i><sub>1</sub>и<i>S</i><sub>2</sub>касаются внешним образом в точке<i>F</i>. Их общая касательная касается<i>S</i><sub>1</sub>и<i>S</i><sub>2</sub>в точках<i>A</i>и<i>B</i>соответственно. Прямая, параллельная<i>AB</i>, касается окружности<i>S</i><sub>2</sub>в точке<i>C</i>и пересекает окружность<i>S</i><sub>1</sub>в точках<i>D</i>и<i>E</i>. Докажите, что общая хорда описанных окружностей треугольников<i>ABC</i>и<i>BDE</i>, проходит через точку<i>F</i>.
Каждая из окружностей<i> S</i>1,<i> S</i>2и<i> S</i>3касается внешним образом окружности<i> S </i>(в точках<i> A</i>1,<i> B</i>1и<i> C</i>1соответственно) и двух сторон треугольника<i> ABC </i>(см.рис.). Докажите, что прямые<i> AA</i>1,<i> BB</i>1и<i> CC</i>1пересекаются в одной точке.
Пусть<i> a </i>,<i> b </i>и<i> c </i>– стороны треугольника,<i> m<sub>a</sub> </i>,<i> m<sub>b</sub> </i>и<i> m<sub>c</sub> </i>– медианы, проведённые к этим сторонам,<i> D </i>– диаметр окружности, описанной около треугольника. Докажите, что <center><i>
<img src="/storage/problem-media/108204/problem_108204_img_2.gif"> + <img src="/storage/problem-media/108204/problem_108204_img_3.gif">+ <img src="/storage/problem-media/108204/problem_108204_img_4.gif"> <img src="/storage/problem-media/108204/problem_108204_img_5.gif"> </i>6<i>D.
</i></center>