Олимпиадные задачи из источника «Заключительный этап» для 11 класса - сложность 3 с решениями
Докажите, что если(<i>x+<img src="/storage/problem-media/109565/problem_109565_img_2.gif"></i>)(<i>y+<img src="/storage/problem-media/109565/problem_109565_img_3.gif"></i>)<i>=</i>1, то<i> x+y=</i>0.
Функции <i>f</i>(<i>x</i>) и <i>g</i>(<i>x</i>) определены на множестве целых чисел, не превосходящих по модулю 1000. Обозначим через <i>m</i> число пар (<i>x, y</i>), для которых
<i>f</i>(<i>x</i>) = <i>g</i>(<i>y</i>), через <i>n</i> – число пар, для которых <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>f</i>(<i>y</i>), а через <i>k</i> – число пар, для которых <i>g</i>(<i>x</i>) = <i>g</i>(<i>y</i>). Докажите, что 2<i>m ≤ n + k</i>.
В правильном (6<i>n</i>+1)-угольнике <i>K</i> вершин покрашено в красный цвет, а остальные – в синий.
Докажите, что количество равнобедренных треугольников с одноцветными вершинами не зависит от способа раскраски.
Дана последовательность натуральных чисел <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i>, в которой <i>a</i><sub>1</sub> не делится на 5 и для всякого <i>n</i> <i>a</i><sub><i>n</i>+1</sub> = <i>a<sub>n</sub> + b<sub>n</sub></i>, где <i>b<sub>n</sub></i> – последняя цифра числа <i>a<sub>n</sub></i>. Докажите, что последовательность содержит бесконечно много степеней двойки.
Две окружности<i>S</i><sub>1</sub>и<i>S</i><sub>2</sub>касаются внешним образом в точке<i>F</i>. Их общая касательная касается<i>S</i><sub>1</sub>и<i>S</i><sub>2</sub>в точках<i>A</i>и<i>B</i>соответственно. Прямая, параллельная<i>AB</i>, касается окружности<i>S</i><sub>2</sub>в точке<i>C</i>и пересекает окружность<i>S</i><sub>1</sub>в точках<i>D</i>и<i>E</i>. Докажите, что общая хорда описанных окружностей треугольников<i>ABC</i>и<i>BDE</i>, проходит через точку<i>F</i>.