Олимпиадные задачи из источника «1993-1994» для 11 класса - сложность 2-3 с решениями
1993-1994
НазадНайдите свободный член многочлена <i>P</i>(<i>x</i>) с целыми коэффициентами, если известно, что он по модулю меньше тысячи, и <i>P</i>(19) = <i>P</i>(94) = 1994.
Функция<i> f</i>(<i>x</i>)определена и удовлетворяет соотношению <center>(<i>x-</i>1)<i>f</i>(<i><img src="/storage/problem-media/109577/problem_109577_img_2.gif"></i>)<i>-f</i>(<i>x</i>)<i>=x
</i></center> при всех<i> x<img src="/storage/problem-media/109577/problem_109577_img_3.gif"></i>1. Найдите все такие функции.
В вершинах выпуклого <i>n</i>-угольника расставлены <i>m</i> фишек (<i>m > n</i>). За один ход разрешается передвинуть две фишки, стоящие в одной вершине, в соседние вершины: одну – вправо, вторую – влево. Докажите, что если после нескольких ходов в каждой вершине <i>n</i>-угольника будет стоять столько же фишек, сколько и вначале, то количество сделанных ходов кратно <i>n</i>.
В один из дней года оказалось, что каждый житель города сделал не более одного звонка по телефону. Докажите, что население города можно разбить не более чем на три группы так, чтобы жители, входящие в одну группу, не разговаривали в этот день между собой по телефону.
Докажите, что при всех $x$, $0 < x < \pi/3$, справедливо неравенство $\sin 2x + \cos x > 1$.
Докажите, что если(<i>x+<img src="/storage/problem-media/109565/problem_109565_img_2.gif"></i>)(<i>y+<img src="/storage/problem-media/109565/problem_109565_img_3.gif"></i>)<i>=</i>1, то<i> x+y=</i>0.
Функции <i>f</i>(<i>x</i>) и <i>g</i>(<i>x</i>) определены на множестве целых чисел, не превосходящих по модулю 1000. Обозначим через <i>m</i> число пар (<i>x, y</i>), для которых
<i>f</i>(<i>x</i>) = <i>g</i>(<i>y</i>), через <i>n</i> – число пар, для которых <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>f</i>(<i>y</i>), а через <i>k</i> – число пар, для которых <i>g</i>(<i>x</i>) = <i>g</i>(<i>y</i>). Докажите, что 2<i>m ≤ n + k</i>.
В правильном (6<i>n</i>+1)-угольнике <i>K</i> вершин покрашено в красный цвет, а остальные – в синий.
Докажите, что количество равнобедренных треугольников с одноцветными вершинами не зависит от способа раскраски.
Дана последовательность натуральных чисел <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i>, в которой <i>a</i><sub>1</sub> не делится на 5 и для всякого <i>n</i> <i>a</i><sub><i>n</i>+1</sub> = <i>a<sub>n</sub> + b<sub>n</sub></i>, где <i>b<sub>n</sub></i> – последняя цифра числа <i>a<sub>n</sub></i>. Докажите, что последовательность содержит бесконечно много степеней двойки.
Две окружности<i>S</i><sub>1</sub>и<i>S</i><sub>2</sub>касаются внешним образом в точке<i>F</i>. Их общая касательная касается<i>S</i><sub>1</sub>и<i>S</i><sub>2</sub>в точках<i>A</i>и<i>B</i>соответственно. Прямая, параллельная<i>AB</i>, касается окружности<i>S</i><sub>2</sub>в точке<i>C</i>и пересекает окружность<i>S</i><sub>1</sub>в точках<i>D</i>и<i>E</i>. Докажите, что общая хорда описанных окружностей треугольников<i>ABC</i>и<i>BDE</i>, проходит через точку<i>F</i>.