Олимпиадные задачи по математике - сложность 2 с решениями
Из каждой вершины выпуклого многогранника выходят ровно три ребра, причём хотя бы два из этих трёх рёбер равны.
Докажите, что многогранник имеет хотя бы три равных ребра.
Имеется 200 гирек массами 1, 2, ..., 200 грамм. Их разложили на две чаши весов по 100 гирек на каждую, и весы оказались в равновесии. На каждой гирьке записали, сколько гирек на противоположной чаше легче неё. Докажите, что сумма чисел, записанных на гирьках левой чаши, равна сумме чисел, записанных на гирьках правой чаши.
На стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> взята такая точка <i>P</i>, что <i>AP</i> = 2<i>PB</i>, а на стороне <i>AC</i> – ее середина, точка <i>Q</i>. Известно, что <i>CP</i> = 2<i>PQ</i>.
Докажите, что треугольник <i>ABC</i> прямоугольный.
На наибольшей стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> взяли такие точки <i>P</i> и <i>Q</i>, что <i>AQ = AC, BP = BC</i>.
Докажите, что центр описанной окружности треугольника <i>PQC</i> совпадает с центром вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>.
Грани выпуклого многогранника – подобные треугольники.
Докажите, что многогранник имеет две пары равных граней (одну пару равных граней и еще одну пару равных граней).
На сторонах <i>BC</i> и <i>CD</i> ромба <i>ABCD</i> взяли точки <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно так, что <i>BP = CQ</i>.
Докажите, что точка пересечения медиан треугольника <i>APQ</i> лежит на диагонали <i>BD</i> ромба.
В пространстве расположена замкнутая шестизвенная ломаная <i>ABCDEF</i>, противоположные звенья которой параллельны (<i>AB || DE, BC || EF</i> и
<i>CD || FA</i>). При этом <i>AB</i> не равно <i>DE</i>. Докажите, что все звенья ломаной лежат в одной плоскости.
Есть 40 гирек массой 1 г, 2 г, ..., 40 г. Из них выбрали 10 гирь чётной массы и положили на левую чашу весов. Затем выбрали 10 гирь нечётной массы и положили на правую чашу весов. Весы оказались в равновесии. Докажите, что на какой-нибудь чаше есть две гири с разностью масс в 20 г.
Концы <i>N</i> хорд разделили окружность на 2<i>N</i> дуг единичной длины. Известно, что каждая из хорд делит окружность на две дуги чётной длины.
Докажите, что число <i>N</i> чётно.
В шахматном турнире участвовало 8 человек, и в итоге они набрали разное количество очков (каждый играл с каждым один раз, победа – 1 очко, ничья – 0,5 очка, поражение – 0). Шахматист, занявший второе место, набрал столько же очков, сколько четверо последних набрали вместе.
Как сыграли между собой шахматисты, занявшие третье и седьмое места?
Существуют ли два многоугольника, у которых все вершины общие, но нет ни одной общей стороны?
Даны пятьдесят различных натуральных чисел, двадцать пять из которых не превосходят 50, а остальные больше 50, но не превосходят 100. При этом никакие два из них не отличаются ровно на 50. Найдите сумму этих чисел.
Рассматриваются 2000 чисел: 11, 101, 1001, ... . Докажите, что среди этих чисел не менее 99% составных.
Дан равносторонний треугольник <i>ABC</i>. Сторона <i>BC</i> разделена на три равные части точками <i>K</i> и <i>L</i>, а точка <i>M</i> делит сторону <i>AC</i> в отношении 1 : 2, считая от вершины <i>A</i>. Докажите, что сумма углов <i>AKM</i> и <i>ALM</i> равна 30°.
Квадрат <i>ABCD</i> и окружность пересекаются в восьми точках так, что образуются четыре криволинейных треугольника: <i>AEF, BGH, CIJ, DKL</i> (<i>EF, GH, IJ, KL</i> – дуги окружности). Докажите, что
а) сумма длин дуг <i>EF</i> и <i>IJ</i> равна сумме длин дуг <i>GH</i> и <i>KL</i>;
б) сумма периметров криволинейных треугольников <i>AEF</i> и <i>CIJ</i> равна сумме периметров криволинейных треугольников <i>BGH</i> и <i>DKL</i>.
В прямоугольник вписан четырёхугольник (на каждой стороне прямоугольника по одной вершине четырёхугольника).
Докажите, что периметр четырёхугольника не меньше удвоенной диагонали прямоугольника.
Рассматривается шестиугольник, который является пересечением двух (не обязательно равных) правильных треугольников.
Докажите, что если параллельно перенести один из треугольников, то периметр пересечения (если оно остаётся шестиугольником), не меняется.
На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> равностороннего треугольника <i>ABC</i> взяты точки <i>D</i> и <i>K</i>, а на стороне <i>AC</i> – точки <i>E</i> и <i>M</i>, причём <i>DA + AE = KC + CM = AB</i>.
Докажите, что угол между прямыми <i>DM</i> и <i>KE</i> равен 60°.
Внутри острого угла <i>XOY</i> взяты точки <i>M</i> и <i>N</i>, причём ∠<i>XON</i> = ∠<i>YOM</i>. На луче <i>OX</i> отмечена точка <i>Q</i> так, что ∠<i>NQO</i> = ∠<i>MQX</i>, а на луче <i>OY</i> – точка <i>P</i> так, что ∠<i>NPO</i> = ∠<i>MPY</i>. Докажите, что длины ломаных <i>MPN</i> и <i>MQN</i> равны.
В треугольнике <i>ABC</i> точки <i>A', B', C'</i> лежат на сторонах <i>BC, CA</i> и <i>AB</i> соответственно. Известно, что ∠<i>AC'B'</i> = ∠<i>B'A'C</i>, ∠<i>CB'A'</i> = ∠<i>A'C'B</i>, ∠<i>BA'C'</i> = ∠<i>C'B'A</i>. Докажите, что точки <i> A', B', C'</i> – середины сторон треугольника <i>ABC</i>.
Стороны <i>AB, BC, CD</i> и <i>DA</i> четырёхугольника <i>ABCD</i> равны соответственно сторонам <i>A'B', B'C', C'D'</i> и <i>D'A'</i> четырёхугольника <i>A'B'C'D'</i>, причём известно, что <i>AB || CD</i> и <i>B'C' || D'A'</i>. Докажите, что оба четырёхугольника – параллелограммы.
Квадрат со стороной 1 разрезали на прямоугольники, у каждого из которых отметили одну сторону.
Докажите, что сумма длин всех отмеченных сторон не может быть меньше 1.
Пусть <i>a, b, c</i> – такие целые неотрицательные числа, что 28<i>a</i> + 30<i>b</i> + 31<i>c</i> = 365. Докажите, что <i>a + b + c</i> = 12.
Найдутся ли натуральные числа <i>x, y</i> и <i>z</i>, удовлетворяющие условию 28<i>x</i> + 30<i>y</i> + 31<i>z</i> = 365?
В некоторых клетках шахматной доски стоят фигуры. Известно, что на каждой горизонтали стоит хотя бы одна фигура, причём в разных горизонталях – разное число фигур. Докажите, что всегда можно отметить 8 фигур так, чтобы в каждой вертикали и каждой горизонтали стояла ровно одна отмеченная фигура.