Олимпиадные задачи по математике для 10 класса - сложность 3 с решениями
В круглый бокал, осевое сечение которого — график функции<i>y</i>=<i>x</i><sup>4</sup>, опускают вишенку — шар радиуса<i>r</i>. При каком наибольшем<i>r</i>шар коснется нижней точки дна? (Другими словами, каков максимальный радиус<i>r</i>круга, лежащего в области<i>y</i>$\ge$<i>x</i><sup>4</sup>и содержащего начало координат?)
а) Докажите для всех <i>n</i> > 2 неравенство <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98328/problem_98328_img_2.gif">б) Найдите какие-нибудь такие натуральные числа <i>a, b, c</i>, что для всех <i>n</i> > 2 <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98328/problem_98328_img_3.gif">
Функция <i>f</i>(<i>x</i>) на отрезке [<i>a, b</i>] равна максимуму из нескольких функций вида <i>y = C</i>·10<sup>–|<i>x–d</i>|</sup> (с различными <i>d</i> и <i>C</i>, причём все <i>C</i> положительны). Дано, что
<i>f</i>(<i>a</i>) = <i>f</i>(<i>b</i>). Докажите, что сумма длин участков, на которых функция возрастает, равна сумме длин участков, на которых функция убывает.
Пусть <i>n</i> и <i>b</i> – натуральные числа. Через <i>V</i>(<i>n, b</i>) обозначим число разложений <i>n</i> на сомножители, каждый из которых больше <i>b</i> (например:
36 = 6·6 = 4·9 = 3·3·4 = 3·12, так что <i>V</i>(36, 2) = 5). Докажите, что <i>V</i>(<i>n, b</i>) < <sup><i>n</i></sup>/<sub><i>b</i></sub>.
На какое максимальное число частей могут разбить координатную плоскость <i>xOy</i> графики 100 квадратных трехчлёнов вида
<i>y = a<sub>n</sub>x</i>² + <i>b<sub>n</sub>x + c<sub>n</sub></i> (<i>n</i> = 1, 2, ..., 100)?
Можно ли покрыть плоскость окружностями так, чтобы через каждую точку проходило ровно 1988 окружностей?
В пространстве заданы четыре точки, не лежащие в одной плоскости.
Сколько существует различных параллелепипедов, для которых эти точки служат вершинами?
Из последовательности <i>a</i>, <i>a + d, a</i> + 2<i>d, a</i> + 3<i>d</i>, ..., являющейся бесконечной арифметической прогрессией, где <i>d</i> не равно 0, тогда и только тогда можно выбрать подпоследовательность, являющуюся бесконечной геометрической прогрессией, когда отношение <sup><i>a</i></sup>/<sub><i>d</i></sub> рационально. Докажите это.
а) Докажите, что нельзя занумеровать рёбра куба числами 1, 2, ..., 11, 12 так, чтобы для каждой вершины сумма номеров трёх выходящих из неё рёбер была одной и той же. б) Можно ли вычеркнуть одно из чисел 1, 2, ..., 12, 13 и оставшимися занумеровать рёбра куба так, чтобы выполнялось то же условие?
Две стороны треугольника равны 10 и 15. Докажите, что биссектриса угла между ними не больше 12.