Олимпиадные задачи по математике для 11 класса - сложность 1-3 с решениями
В круглый бокал, осевое сечение которого — график функции<i>y</i>=<i>x</i><sup>4</sup>, опускают вишенку — шар радиуса<i>r</i>. При каком наибольшем<i>r</i>шар коснется нижней точки дна? (Другими словами, каков максимальный радиус<i>r</i>круга, лежащего в области<i>y</i>$\ge$<i>x</i><sup>4</sup>и содержащего начало координат?)
Пусть <i>A', B', C', D', E', F'</i> – середины сторон <i>AB, BC, CD, DE, EF, FA</i> произвольного выпуклого шестиугольника <i>ABCDEF</i>. Известны площади треугольников <i>ABC', BCD', CDE', DEF', EFA', FAB'</i>. Найдите площадь шестиугольника <i>ABCDEF</i>.
Можно ли нарисовать на плоскости четыре красных и четыре чёрных точки так, чтобы для каждой тройки точек одного цвета нашлась такая точка другого цвета, что эти четыре точки являются вершинами параллелограмма?
На плоскости даны три точки <i>A, B, C</i>. Через точку <i>C</i> проведите прямую так, чтобы произведение расстояний от этой прямой до <i>A</i> и <i>B</i> было максимальным. Всегда ли такая прямая единственна?
Покажите, как разбить пространство
а) на одинаковые тетраэдры,
б) на одинаковые равногранные тетраэдры
(тетраэдр называется <i>равногранным</i>, если все его грани – равные треугольники).
Функция <i>f</i>(<i>x</i>) на отрезке [<i>a, b</i>] равна максимуму из нескольких функций вида <i>y = C</i>·10<sup>–|<i>x–d</i>|</sup> (с различными <i>d</i> и <i>C</i>, причём все <i>C</i> положительны). Дано, что
<i>f</i>(<i>a</i>) = <i>f</i>(<i>b</i>). Докажите, что сумма длин участков, на которых функция возрастает, равна сумме длин участков, на которых функция убывает.
Тремя бесконечными сериями равноотстоящих параллельных прямых плоскость разбита на равносторонние треугольники со стороной 1.
<i>M</i> – множество всех их вершин. <i>A</i> и <i>B</i> – две вершины одного треугольника. Разрешается поворачивать плоскость на 120° вокруг любой из вершин множества <i>M</i>. Можно ли за несколько таких преобразований перевести точку <i>A</i> в точку <i>B</i>?
На какое максимальное число частей могут разбить координатную плоскость <i>xOy</i> графики 100 квадратных трехчлёнов вида
<i>y = a<sub>n</sub>x</i>² + <i>b<sub>n</sub>x + c<sub>n</sub></i> (<i>n</i> = 1, 2, ..., 100)?
В пространстве заданы четыре точки, не лежащие в одной плоскости.
Сколько существует различных параллелепипедов, для которых эти точки служат вершинами?
Из последовательности <i>a</i>, <i>a + d, a</i> + 2<i>d, a</i> + 3<i>d</i>, ..., являющейся бесконечной арифметической прогрессией, где <i>d</i> не равно 0, тогда и только тогда можно выбрать подпоследовательность, являющуюся бесконечной геометрической прогрессией, когда отношение <sup><i>a</i></sup>/<sub><i>d</i></sub> рационально. Докажите это.
Пусть <i>k</i> и <i>n</i> – натуральные числа, <i>k ≤ n</i>. Расставьте первые <i>n</i>² натуральных чисел в таблицу <i>n</i>×<i>n</i> так, чтобы в каждой строке числа шли в порядке возрастания и при этом сумма чисел в <i>k</i>-м столбце была а) наименьшей; б) наибольшей.
В каждой клетке квадрата 8×8 клеток проведена одна из диагоналей. Рассмотрим объединение этих 64 диагоналей. Оно состоит из нескольких связных частей (к одной части относятся точки, между которыми можно пройти по одной или нескольким диагоналям). Может ли количество этих частей быть больше
а) 15;
б) 20?
в) Может ли в аналогичной задаче про квадрат <i>n×n</i> клеток получиться больше чем <sup><i>n</i>²</sup>/<sub>4</sub> частей (для <i>n</i> > 8)?