Олимпиадные задачи по математике - сложность 4 с решениями

Пусть <i>p</i> – простое число. Докажите, что при некотором простом <i>q</i> все числа вида  <i>n^p – p</i>  не делятся на <i>q</i>.

Определите наименьшее действительное число <i>M</i>, при котором неравенство   |<i>ab</i>(<i>a</i>² – <i>b</i>²) + <i>bc</i>(<i>b</i>² – <i>c</i>²) + <i>ca</i>(<i>c</i>² – <i>a</i>²)| ≤ <i>M</i>(<i>a</i>² + <i>b</i>² + <i>c</i>²)²   выполняется для любых действительных чисел <i>a, b, c</i>.

Диагональ правильного 2006-угольника <i>P</i> называется <i>хорошей</i>, если её концы делят границу <i>P</i> на две части, каждая из которых содержит нечётное число сторон. Стороны <i>P</i> также называются хорошими. Пусть <i>P</i> разбивается на треугольники 2003 диагоналями, никакие две из которых не имеют общих точек внутри <i>P</i>. Какое наибольшее число равнобедренных треугольников, каждый из которых имеет две хорошие стороны, может иметь такое разбиение?

Каждой стороне<i>b</i>выпуклого многоугольника<i>P</i>поставлена в соответствие наибольшая из площадей треугольников, содержащихся в<i>P</i>, одна из сторон которых совпадает с<i>b</i>. Докажите, что сумма площадей, соответствующих всем сторонам<i>P</i>, не меньше удвоенной площади многоугольника<i>P</i>.

Некоторые участники олимпиады дружат, и дружба взаимна. Назовём группу участников <i>кликой</i>, если все они дружат между собой. Их число называется <i>размером</i> клики. Известно, что максимальный размер клики чётен. Докажите, что участников можно рассадить по двум аудиториям так, что максимальные размеры клик в обеих аудиториях совпадают.

Имеются одна красная и <i>k</i>  (<i>k</i> > 1)  синих ячеек, а также колода из 2<i>n</i> карт, занумерованных числами от 1 до 2<i>n</i>. Первоначально вся колода лежит в произвольном порядке в красной ячейке. Из любой ячейки можно взять верхнюю карту и переложить её либо в пустую ячейку, либо поверх карты с номером, большим на единицу. При каком наибольшем <i>n</i> можно такими операциями переложить всю колоду в одну из синих ячеек?

На плоскости отмечены две точки на расстоянии 1. Разрешается, измерив циркулем расстояние между двумя отмеченными точками, провести окружность с центром в любой отмеченной точке с измеренным радиусом. Линейкой разрешается провести прямую через любые две отмеченные точки. При этом отмечаются новые точки – точки пересечения построенных линий. Пусть Ц(<i>n</i>) – наименьшее число линий, проведение которых одним циркулем позволяет получить две отмеченные точки на расстоянии <i>n</i> (<i>n </i> – натуральное). ЛЦ(<i>n</i>) – то же, но циркулем и линейкой. Докажите, что последовательность  <img align="middle" src="/storage/problem-media/109598/problem_109598_img_2.gif">  неограничена.

Пусть $l_a$, $l_b$ и $l_c$ – длины биссектрис углов $A$, $B$ и $C$ треугольника $ABC$, а $m_a$, $m_b$ и $m_c$ – длины соответствующих медиан. Докажите, что $$ \frac{l_a}{m_a} + \frac{l_b}{m_b} +\frac{l_c}{m_c} > 1.$$

Натуральные числа от 1 до <i>n</i> расставляются в ряд в произвольном порядке. Расстановка называется <i>плохой</i>, если в ней можно отметить 10 чисел (не обязательно стоящих подряд), идущих в порядке убывания. Остальные расстановки называются <i>хорошими</i>. Докажите, что количество хороших расстановок не превосходит 81^<i>n</i>.

Али-Баба и разбойник делят клад, состоящий из 100 золотых монет, разложенных в 10 кучек по 10 монет. Али-Баба выбирает 4 кучки, ставит около каждой из них по кружке, откладывает в каждую кружку по несколько монет (не менее одной, но не всю кучку). Разбойник должен как-то переставить кружки, изменив их первоначальное расположение, после чего монеты высыпаются из кружек в те кучки, около которых оказались кружки. Далее Али-Баба снова выбирает 4 кучки из 10, ставит около них кружки, и т. д. В любой момент Али-Баба может уйти, унеся с собой любые три кучки по выбору. Остальные монеты достаются разбойнику. Какое наибольшее число монет сможет унести Али-Баба, если разбойник тоже старается получить побольше монет?

Для какого наибольшего<i>n</i>можно придумать две бесконечные в обе стороны последовательности<i>A</i>и<i>B</i>такие, что любой кусок последовательности<i>B</i>длиной<i>n</i>содержится в<i>A</i>,<i>A</i>имеет период 1995, а<i>B</i>этим свойством не обладает (непериодична или имеет период другой длины)?<font size="-1">Комментарий. Последовательности могут состоять из произвольных символов. Речь идет о минимальном периоде.</font>

На табло горят несколько лампочек. Имеется несколько кнопок. Нажатие на кнопку меняет состояние лампочек, с которыми она соединена. Известно, что для любого набора лампочек найдется кнопка, соединенная с нечетным числом лампочек из этого набора. Докажите, что, нажимая на кнопки, можно погасить все лампочки.

Докажите, что в пространстве существует такое расположение 2001 выпуклого многогранника, что никакие три из многогранников не имеют общих точек, а каждые два касаются друг друга (то есть имеют хотя бы одну граничную точку, но не имеют общих внутренних точек).

Можно ли расположить бесконечное число равных выпуклых многогранников в слое, ограниченном двумя параллельными плоскостями, так чтобы ни один многогранник нельзя было вынуть из слоя, не сдвигая остальных?

Докажите, что первые цифры чисел вида 2^2ⁿ образуют непериодическую последовательность.

На лугу, имеющем форму квадрата, имеется круглая лунка. По лугу прыгает кузнечик. Перед каждым прыжком он выбирает вершину и прыгает по направлению к ней. Длина прыжка равна половине расстояния до этой вершины.

Сможет ли кузнечик попасть в лунку?

Дана функция   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98421/problem_98421_img_2.gif"> ,   где трёхчлены  <i>x</i>² + <i>ax + b</i>  и  <i>x</i>² + <i>cx + d</i>  не имеют общих корней. Докажите, что следующие два утверждения равносильны:

  1) найдётся числовой интервал, свободный от значений функции;

  2)  <i>f</i>(<i>x</i>) представима в виде:  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>f</i>₁(<i>f</i>₂(...<i>f</i>_<i>n</i>–1(<i>f_n</i>(<i>x</i>))...)),  где каждая из функций  <i>f_i...

а) На стол положили (с перекрытиями) несколько одинаковых салфеток, имеющих форму правильного шестиугольника, причём у всех салфеток одна сторона параллельна одной и той же прямой. Всегда ли можно вбить в стол несколько гвоздей так, что все салфетки будут прибиты, причём каждая – только одним гвоздём?

б) Тот же вопрос про правильные пятиугольники.

Плоскость разбита на выпуклые семиугольники единичного диаметра. Докажите, что любой круг радиуса 200 пересекает не менее миллиарда из них.