Олимпиадные задачи по математике - сложность 3 с решениями

Даны треугольник <i>XYZ</i> и выпуклый шестиугольник <i>ABCDEF</i>. Стороны <i>AB, CD</i> и <i>EF</i> параллельны и равны соответственно сторонам <i>XY, YZ</i> и <i>ZX</i>. Докажите, что площадь треугольника с вершинами в серединах сторон <i>BC, DE</i> и <i>FA</i> не меньше площади треугольника <i>XYZ</i>.

Вписанная и вневписанная окружности треугольника <i>ABC</i> касаются стороны <i>BC</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i>. Известно, что  ∠<i>BAC</i> = 2∠<i>MAN</i>.

Докажите, что  <i>BC</i> = 2<i>MN</i>.

В треугольнике <i>ABC</i>  ∠<i>A</i> = 57<°,  ∠<i>B</i> = 61°,  ∠<i>C</i> = 62°.  Какой из двух отрезков длиннее: биссектриса угла <i>A</i> или медиана, проведённая из вершины <i>B</i>?

Даны выпуклый многоугольник $M$ и простое число $p$. Оказалось, что существует ровно $p$ способов разбить $M$ на равносторонние треугольники со стороной 1 и квадраты со стороной 1.

Докажите, что длина одной из сторон многоугольника $M$ равна  $p$ – 1.

Для каких $k$ можно закрасить на белой клетчатой плоскости несколько (конечное число, большее нуля) клеток в чёрный цвет так, чтобы на любой клетчатой вертикали, горизонтали и диагонали либо было ровно $k$ чёрных клеток, либо вовсе не было чёрных клеток?

Любые три последовательные вершины невыпуклого многоугольника образуют прямоугольный треугольник. Обязательно ли у многоугольника найдется угол, равный $90$ или $270$ градусам?

Найдите наименьшее натуральное $k$ такое, что в любом выпуклом $1001$-угольнике сумма длин любых $k$ диагоналей не меньше суммы длин остальных диагоналей.

Четырехугольник $ABCD$ без равных и без параллельных сторон описан около окружности с центром $I$. Точки $K$, $L$, $M$ и $N$ – середины сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$. Известно, что $AB\cdot CD=4IK\cdot IM$. Докажите, что $BC\cdot AD=4IL\cdot IN$.

В некотором государстве сложение и вычитание обозначаются знаками "!" и "?", но вам неизвестно, какой знак какой операции соответствует. Каждая операция применяется к двум числам, но про вычитание вам неизвестно, вычитается левое число из правого или правое из левого. К примеру, выражение $a?b$ обозначает одно из следующих:  $a - b,  b - a$  или  $a + b$.  Вам неизвестно, как записываются числа в этом государстве, но переменные $a, b$ и скобки есть и используются как обычно. Объясните, как с помощью них и знаков "!", "?" записать выражение, которое гарантированно равно  $20a - 18b$.

Четырехугольник $ABCD$ описан вокруг окружности радиуса $1$. Найдите наибольшее возможное значение величины $\frac1{AC^2}+\frac1{BD^2}$.

Правильный $n$-угольник со стороной 1 вращается вокруг другого такого же $n$-угольника, как показано на рисунке. Последовательные положения одной из его вершин в моменты, когда $n$-угольники имеют общую сторону, образуют замкнутую ломаную $\kappa$.<img src="/storage/problem-media/66681/problem_66681_img_2.png"> Докажите, что $\kappa$ ограничивает площадь, равную $6A - 2B$, где $A$, $B$ – площади правильных $n$-угольников с единичными стороной и радиусом описанной окружности соответственно.

Вершины треугольника $DEF$ лежат на разных сторонах треугольника $ABC$. Касательные, проведенные из центра вписанной в треугольник $DEF$ окружности к вневписанным окружностям треугольника $ABC$, равны. Докажите, что $4S_{DEF} \ge S_{ABC}$.

Дьявол предлагает Человеку сыграть в следующую игру. Сначала Человек платит некоторую сумму <i>s</i> и называет 97 троек  {<i>i, j, k</i>},  где <i>i, j, k</i> – натуральные числа, не превосходящие 100. Затем Дьявол рисует выпуклый 100-угольник <i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A</i>₁₀₀ с площадью, равной 100, и выплачивает Человеку выигрыш, равный сумме площадей 97 треугольников <i>A_iA_jA_k</i>. При каком наибольшем <i>s</i> Человеку выгодно согласиться?

Можно ли разрезать правильный десятиугольник по нескольким диагоналям и сложить из получившихся кусков два правильных многоугольника?

Выпуклый шестиугольник <i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A</i>₆ описан около окружности ω радиуса 1. Рассмотрим три отрезка, соединяющие середины противоположных сторон шестиугольника. Для какого наибольшего <i>r</i> можно утверждать, что хотя бы один из этих отрезков не короче <i>r</i>?

Докажите, что любой выпуклый четырёхугольник можно разрезать на пять многоугольников, каждый из которых имеет ось симметрии.

Среди вершин двух неравных икосаэдров можно выбрать шесть, являющихся вершинами правильного октаэдра.

Найдите отношение рёбер икосаэдров.

Через ортоцентр остроугольного треугольника проведены две перпендикулярные прямые. Стороны треугольника высекают на каждой из этих прямых два отрезка: один, лежащий внутри треугольника, второй – вне его. Докажите, что произведение двух внутренних отрезков равно произведению двух внешних.

Девять окружностей расположены вокруг произвольного треугольника так, как показано на рисунке. Окружности, касающиеся одной и той же стороны треугольника, равны между собой. Докажите, что три прямые на рисунке пересекаются в одной точке. (Прямые проходят через вершины треугольника и центры соответствующих окружностей.) <div align="center"><img src="/storage/problem-media/64810/problem_64810_img_2.png"></div>