Олимпиадные задачи по математике для 11 класса - сложность 1-4 с решениями

По шоссе в одном направлении едут 10 автомобилей. Шоссе проходит через несколько населённых пунктов. Каждый из автомобилей едет с некоторой постоянной скоростью в населённых пунктах и с некоторой другой постоянной скоростью вне населённых пунктов. Для разных автомобилей эти скорости могут отличаться. Вдоль шоссе расположено 2011 флажков. Известно, что каждый автомобиль проехал мимо каждого флажка, причём около флажков обгонов не происходило. Докажите, что мимо каких-то двух флажков автомобили проехали в одном и том же порядке.

В некоторых клетках доски 10<i>× </i>10поставили<i> k </i> ладей, и затем отметили все клетки, которые бьет хотя бы одна ладья (считается, что ладья бьет клетку, на которой стоит). При каком наибольшем <i> k </i>может оказаться, что после удаления с доски любой ладьи хотя бы одна отмеченная клетка окажется не под боем?

Даны натуральные числа <i>x</i> и <i>y</i> из отрезка  [2, 100].  Докажите, что при некотором натуральном <i>n</i> число <i>x</i>^2<i>ⁿ</i> + <i>y</i>^2<i>ⁿ</i>  – составное.

В некоторых клетках доски 10×10 поставили <i>k</i> ладей, и затем отметили все клетки, которые бьёт хотя бы одна ладья (ладья бьёт и клетку, на которой стоит). При каком наибольшем <i>k</i> может оказаться, что после удаления с доски любой ладьи хотя бы одна отмеченная клетка окажется не под боем?

Имеются три комиссии бюрократов. Известно, что для каждой пары бюрократов из разных комиссий среди членов оставшейся комиссии есть ровно 10 бюрократов, которые знакомы с обоими, и ровно 10 бюрократов, которые незнакомы с обоими. Найдите общее число бюрократов в комиссиях.

Дана треугольная пирамида<i> ABCD </i>. Сфера<i> S₁ </i>, проходящая через точки<i> A </i>,<i> B </i>,<i> C </i>, пересекает ребра<i> AD </i>,<i> BD </i>,<i> CD </i>в точках<i> K </i>,<i> L </i>,<i> M </i>соответственно; сфера<i> S₂ </i>, проходящая через точки<i> A </i>,<i> B </i>,<i> D </i>, пересекает ребра<i> AC </i>,<i> BC </i>,<i> DC </i>в точках<i> P </i>,<i> Q </i>,<i> M </i>соответственно. Оказалось, что<i> KL|| PQ </i>. Докажите, что биссектрисы плоских углов<i> KMQ &lt...

В классе каждый болтун дружит хотя бы с одним молчуном. При этом болтун молчит, если в кабинете находится нечетное число его друзей – молчунов. Докажите, что учитель может пригласить на факультатив не менее половины класса так, чтобы все болтуны молчали.

Дан квадратный трёхчлен  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>² + <i>ax + b</i>.  Уравнение  <i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) = 0  имеет четыре различных действительных корня, сумма двух из которых равна  –1. Докажите, что  <i>b</i> ≤ – ¼.

Четырёхугольник <i>ABCD</i> является одновременно и вписанным, и описанным, причём вписанная в <i>ABCD</i> окружность касается его сторон <i>AB, BC, CD</i> и <i>AD</i> в точках <i>K, L, M, N</i> соответственно. Биссектрисы внешних углов <i>A</i> и <i>B</i> четырёхугольника пересекаются в точке <i>K'</i>, внешних углов <i>B</i> и <i>C</i> – в точке <i>L'</i>, внешних углов <i>C</i> и <i>D</i> – в точке <i>M'</i>, внешних углов <i>D</i> и <i>A</i> – в точке <i>N'</i>. Докажите, что прямые <i>KK', LL', MM'</i> и <i>NN'</i> проход...

На сторонах <i>AP</i> и <i>PD</i> остроугольного треугольника <i>APD</i> выбраны соответственно точки <i>B</i> и <i>C</i>. Диагонали четырёхугольника <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>Q</i>. Точки <i>H</i>₁ и <i>H</i>₂ являются ортоцентрами треугольников <i>APD</i> и <i>BPC</i> соответственно. Докажите, что если прямая <i>H</i>₁<i>H</i>₂ проходит через точку <i>X</i> пересечения описанных окружностей треугольников <i>ABQ</i> и <i>CDQ</i>, то она проходит и через точку <i>Y</i> пересечения описанны...

На плоскости отмечено несколько точек. Для любых трех из них существует декартова система координат (т.е. перпендикулярные оси и общий масштаб), в которой эти точки имеют целые координаты. Докажите, что существует декартова система координат, в которой все отмеченные точки имеют целые координаты.

<i>a</i> и <i>b</i> – такие различные натуральные числа, что  <i>ab</i>(<i>a + b</i>)  делится на  <i>a</i>² + <i>ab + b</i>².  Докажите, что  |<i>a – b</i>| > <img src="/storage/problem-media/109735/problem_109735_img_2.gif"> .

Приведенные квадратные трёхчлены  <i>f</i>(<i>x</i>) и <i>g</i>(<i>x</i>) принимают отрицательные значения на непересекающихся интервалах.

Докажите, что найдутся такие положительные числа α и β, что для любого действительного <i>x</i> будет выполняться неравенство α<i>f</i>(<i>x</i>) + β<i>g</i>(<i>x</i>) > 0.

Клетки таблицы 100×100 окрашены в 4 цвета так, что в каждой строке и в каждом столбце ровно по 25 клеток каждого цвета.

Докажите, что найдутся две строки и два столбца, все четыре клетки на пересечении которых окрашены в разные цвета.

Серединный перпендикуляр к стороне <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> пересекает сторону <i>BC</i> в точке <i>M</i>. Биссектриса угла <i>AMB</i> пересекает описанную окружность треугольника <i>ABC</i> в точке <i>K</i>. Докажите, что прямая, проходящая через центры вписанных окружностей треугольников <i>AKM</i> и <i>BKM</i>, перпендикулярна биссектрисе угла <i>AKB</i>.

Внутри параллелограмма <i>ABCD</i> выбрана точка <i>M</i>, а внутри треугольника <i>AMD</i> точка <i>N</i>, причём  ∠<i>MNA</i> + ∠<i> MCB</i> = ∠<i>MND</i> + ∠<i>MBC</i> = 180°.

Докажите, что прямые <i>MN</i> и <i>AB</i> параллельны.

Существует ли выпуклый многоугольник, у которого длины всех сторон равны, а любые три вершины образуют тупоугольный треугольник?

Существует ли такая бесконечная возрастающая последовательность <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, ... натуральных чисел, что сумма любых двух различных членов последовательности взаимно проста с суммой любых трёх различных членов последовательности?

Внутри выпуклого 100-угольника выбрана точка <i>X</i>, не лежащая ни на одной его стороне или диагонали. Исходно вершины многоугольника не отмечены. Петя и Вася по очереди отмечают ещё не отмеченные вершины 100-угольника, причём Петя начинает и первым ходом отмечает сразу две вершины, а далее каждый своим очередным ходом отмечает по одной вершине. Проигрывает тот, после чьего хода точка <i>X</i> будет лежать внутри многоугольника с отмеченными вершинами. Докажите, что Петя может выиграть, как бы ни ходил Вася.

У тетраэдра <i>ABCD</i> сумма площадей двух граней (с общим ребром <i>AB</i>) равна сумме площадей оставшихся граней (с общим ребром <i>CD</i>). Докажите, что середины рёбер <i>BC, AD, AC</i> и <i>BD</i> лежат в одной плоскости, причём эта плоскость содержит центр сферы, вписанной в тетраэдр <i>ABCD</i>.

Бессмертная блоха прыгает по целым точкам на числовой прямой, стартуя с точки 0. Длина первого прыжка равна 3, второго – 5, третьего – 9, и так далее (длина <i>k</i>-го прыжка равна  2^<i>k</i> + 1).  Направление прыжка (вправо или влево) блоха выбирает самостоятельно. Может ли так случиться, что блоха рано или поздно побывает в каждой натуральной точке (возможно, побывав в некоторых точках больше, чем по разу)?

Поле представляет собой клетчатый квадрат 41×41, в одной из клеток которого замаскирован танк. Истребитель за один выстрел обстреливает одну клетку. Если произошло попадание, танк переползает на соседнюю по стороне клетку поля, если нет – остаётся на месте. При этом после выстрела пилот истребителя не знает, произошло ли попадание. Для уничтожения танка надо попасть в него два раза. Каким наименьшим числом выстрелов можно обойтись для того, чтобы гарантировать, что танк уничтожен?

Числа <i>a</i> и <i>b</i> таковы, что каждый из двух квадратных трёхчленов  <i>x</i>² + <i>ax + b</i>  и  <i>x</i>² + <i>bx + a</i>  имеет по два различных корня, а произведение этих трёхчленов имеет ровно три различных корня. Найдите все возможные значения суммы этих трёх корней.

У нумизмата есть 100 одинаковых по внешнему виду монет. Он знает, что среди них 30 настоящих и 70 фальшивых монет. Кроме того, он знает, что массы всех настоящих монет одинаковы, а массы всех фальшивых – разные, причём каждая фальшивая монета тяжелее настоящей; однако точные массы монет неизвестны. Имеются двухчашечные весы без гирь, на которых можно за одно взвешивание сравнить массы двух групп, состоящих из одинакового числа монет. За какое наименьшее количество взвешиваний на этих весах нумизмат сможет гарантированно найти хотя бы одну настоящую монету?

Дан параллелограмм <i>ABCD</i>, в котором  <i>AB < AC < BC</i>.  Точки <i>E</i> и <i>F</i> выбраны на описанной окружности ω треугольника <i>ABC</i> так, что касательные к ω в этих точках проходят через точку <i>D</i>; при этом отрезки <i>AD</i> и <i>CE</i> пересекаются. Оказалось, что  ∠<i>ABF</i> = ∠<i>DCE</i>.  Найдите угол <i>ABC</i>.