Олимпиадные задачи по математике для 2-7 класса - сложность 1-4 с решениями
Про положительные числа <i>a, b, c</i> известно, что <sup>1</sup>/<sub><i>a</i></sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>b</i></sub> + <sup>1</sup>/<i><sub>c</sub> ≥ a + b + c</i>. Докажите, что <i>a + b + c</i> ≥ 3<i>abc</i>.
Наибольший общий делитель натуральных чисел <i>m</i> и <i>n</i> равен 1. Каково наибольшее возможное значение НОД(<i>m</i> + 2000<i>n</i>, <i>n</i> + 2000<i>m</i>)?
Два различных числа <i>x</i> и <i>y</i> (не обязательно целых) таковы, что <i>x</i>² – 2000<i>x = y</i>² – 2000<i>y</i>. Найдите сумму чисел <i>x</i> и <i>y</i>.
Найдите все пары целых чисел (<i>x, y</i>), для которых числа <i>x</i>³ + <i>y</i> и <i>x + y</i>³ делятся на <i>x</i>² + <i>y</i>².