Олимпиадные задачи по математике для 10 класса - сложность 1-2 с решениями
Через вершину <i>А</i> остроугольного треугольника <i>АВС</i> проведены касательная <i>АК</i> к его описанной окружности, а также биссектрисы <i>АN</i> и <i>AM</i> внутреннего и внешнего углов при вершине <i>А</i> (точки <i>М, K</i> и <i>N</i> лежат на прямой <i>ВС</i>). Докажите, что <i>MK = KN</i>.
Дан остроугольный треугольник <i>ABC</i>. Прямая, параллельная <i>BC</i>, пересекает стороны <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>M</i> и <i>P</i> соответственно. При каком расположении точек <i>M</i> и <i>P</i> радиус окружности, описанной около треугольника <i>BMP</i>, будет наименьшим?
В узлах клетчатой бумаги живут садовники, а вокруг них повсюду растут цветы. За каждым цветком должны ухаживать 3 ближайших к нему садовника. Один из садовников хочет узнать, за каким участком он должен ухаживать. Нарисуйте этот участок.
<i>D</i>– точка на стороне<i>BC</i>треугольника<i>ABC</i>. B треугольники<i>ABD, ACD</i>вписаны окружности, и к ним проведена общая внешняя касательная (отличная от<i>BC</i>), пересекающая<i>AD</i>в точке<i>K</i>. Докажите, что длина отрезка<i>AK</i>не зависит от положения точки<i>D</i>на<i>BC</i>.
Внутри угла с вершиной <i>M</i> отмечена точка <i>A</i>. Из этой точки выпустили шар, который отразился от одной стороны угла в точке <i>B</i>, затем от другой стороны в точке <i>C</i> и вернулся в <i>A</i> ("угол падения" равен "углу отражения", см. рис.). Докажите, что центр <i>O</i> описанной окружности треугольника <i>BCM</i> лежит на прямой <i>AM</i>. (Шар считайте точкой.) <img src="/storage/problem-media/105104/problem_105104_img_2.png" width="200">
Можно ли покрасить четыре вершины куба в красный цвет и четыре другие – в синий так, чтобы плоскость, проходящая через любые три точки одного цвета, содержала точку другого цвета?
В треугольнике <i>ABC</i> проведены высота <i>AH</i> и биссектриса <i>BE</i>. Известно, что угол <i>BEA</i> равен 45°. Докажите, что угол <i>EHC</i> равен 45°.