Олимпиадные задачи по математике для 5-8 класса - сложность 3 с решениями

Докажите, что для любых положительных чисел <i>а</i>₁, ..., <i>a_n</i> справедливо неравенство

<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98245/problem_98245_img_2.gif">

Сумма шестых степеней шести целых чисел на единицу больше, чем их ушестерённое произведение.

Докажите, что одно из чисел равно единице или минус единице, а остальные – нули.

Пусть <i>m, n</i> и <i>k</i> – натуральные числа, причём  <i>m > n</i>.  Какое из двух чисел больше:   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98129/problem_98129_img_2.gif">   или   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98129/problem_98129_img_3.gif"> (В каждом выражении <i>k</i> знаков квадратного корня, <i>m</i> и <i>n</i> чередуются.)

Дано натуральное число <i>n</i>. Рассматриваются такие тройки различных натуральных чисел  (<i>a, b, c</i>),  что  <i>a + b + c = n</i>.  Возьмём наибольшую возможную такую систему троек, что никакие две тройки системы не имеют общих элементов. Число троек в этой системе обозначим через <i>K</i>(<i>n</i>). Докажите, что

  а)  <i>K</i>(<i>n</i>) > ^<i>n</i>/₆ – 1;

  б)  <i>K</i>(<i>n</i>) < ^2<i>n</i>/₉.

В таблицу 10×10 нужно записать в каком-то порядке цифры  0, 1, 2, 3, ..., 9  так, что каждая цифра встречалась бы 10 раз.

  а) Можно ли это сделать так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце встречалось не более четырёх различных цифр?

  б) Докажите, что найдётся строка или столбец, в которой (в котором) встречается не меньше четырёх различных чисел.

Набор чисел  <i>A</i>₁, <i>A</i>₂, ..., <i>A</i>₁₀₀  получен некоторой перестановкой из чисел 1, 2, ..., 100. Образуют сто чисел:

      <i>B</i>₁ = <i>A</i>₁,  <i>B</i>₂ = <i>A</i>₁ + <i>A</i>₂,  <i>B</i>₃ = <i>A</i>₁ + <i>A</i>₂ + <i>A</i>₃,  ...,  <i>B</i>₁₀₀ = <i>A</i>₁ + <i>A</i><sub>2...

Точка <i>P</i> расположена внутри квадрата <i>ABCD</i>, причём <!-- MATH $AP:BP:CP = 1:2:3$ --> <i>AP</i> : <i>BP</i> : <i>CP</i> = 1 : 2 : 3. Найдите угол <i>APB</i>.