Олимпиадные задачи по математике для 11 класса - сложность 3 с решениями
Даны <i>n</i> точек на плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Через каждую пару точек проведена прямая. Какое минимальное число попарно непараллельных прямых может быть среди них?
Числовая последовательность определяется условиями: <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98159/problem_98159_img_2.gif">
Сколько полных квадратов встречается среди первых членов этой последовательности, не превосходящих 1000000?
Даны три треугольника: <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>3</sub>, <i>B</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>2</sub><i>B</i><sub>3</sub>, <i>C</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>2</sub><i>C</i><sub>3</sub>. Известно, что их центры тяжести (точки пересечения медиан) лежат на одной прямой, а никакие три из девяти вершин этих треугольников не лежат на одной прямой. Рассматриваются 27 треугольников вида <i>A<sub>i</sub>B<sub>j</sub>C<sub>k</sub></i>, где <i>i, j, k</i> независимо пробегают значения 1, 2, 3. Докажите, что...
Можно ли разрезать плоскость на многоугольники, каждый из которых переходит в себя при повороте на <sup>360°</sup>/<sub>7</sub> вокруг некоторой точки и все стороны которых больше 1 см?
<i>F</i>(<i>x</i>) – возрастающая функция, определённая на отрезке [0, 1]. Известно, что область её значений принадлежит отрезку [0, 1]. Доказать, что, каково бы ни было натуральное <i>n</i>, график функции можно покрыть <i>N</i> прямоугольниками, стороны которых параллельны осям координат так, что площадь каждого равна <sup>1</sup>/<sub><i>n</i>²</sub>. (В прямоугольник мы включаем его внутренние точки и точки его границы.)
Квадрат разбит на <i>n</i>² равных квадратиков. Про некоторую ломаную известно, что она проходит через центры всех квадратиков (ломаная может пересекать сама себя). Каково минимальное число звеньев у этой ломаной?
64 друга одновременно узнали 64 новости, причём каждый узнал одну новость. Они стали звонить друг другу и обмениваться новостями. Каждый разговор длится 1 час. Какое минимальное количество часов необходимо, чтобы все узнали все новости? (Во время одного разговора можно передать сколько угодно новостей.)
Дан выпуклый четырёхугольник <i>ABCD</i>. Каждая его сторона разбита на <i>k</i> равных частей. Точки деления, принадлежащие стороне <i>AB</i>, соединены прямыми с точками деления, принадлежащими стороне <i>CD</i>, так что первая, считая от <i>A</i>, точка деления соединена с первой точкой деления, считая от <i>D</i>, вторая, считая от <i>A</i>, – со второй, считая от <i>D</i>, и т. д. (первая серия прямых), а точки деления, принадлежащие стороне <i>BC</i>, аналогичным образом соединены с точками деления, принадлежащими стороне <i>DA</i> (вторая серия прямых). Образовалось <i>k</i>² маленьких четырёхугольников. Из них выбрано <i>k</i> четырёхуго...