Ягубьянц А. — олимпиадные задачи по математике для 3-8 класса - сложность 2-5 с решениями

Внутри треугольника расположены окружности $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ одинакового радиуса, причём каждая из окружностей $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ касается двух сторон треугольника и окружности $\delta$. Докажите, что центр окружности $\delta$ принадлежит прямой, проходящей через центры вписанной и описанной окружностей данного треугольника.

Внутри остроугольного треугольника <i>ABC</i> дана точка <i>P</i>, причём <!-- MATH $\angle APB = \angle ACB + 60^{\circ}$ --> $\angle$<i>APB</i> = $\angle$<i>ACB</i> + 60^<tt>o</tt>, <!-- MATH $\angle BPC = \angle BAC + 60^{\circ}$ --> $\angle$<i>BPC</i> = $\angle$<i>BAC</i> + 60^<tt>o</tt>, <!-- MATH $\angle CPA = \angle CBA + 60^{\circ}$ --> $\angle$<i>CPA</i> = $\angle$<i>CBA</i> + 60^<tt>o</tt>. Докажите, что точки пересечения продолжений отрезков <i>AP</i>, <i>BP</i> и <i>CP</i> (за точку <i>P</i>) с описанной окруж...

Три отрезка с концами на сторонах треугольника, параллельные его сторонам, проходят через одну точку и имеют одинаковую длину <i>x</i>.

Найдите <i>x</i>, если стороны треугольника равны <i>a, b, c</i>.