Олимпиадные задачи по математике для 5-9 класса - сложность 1-2 с решениями
Четырёхугольник <i>ABCD</i> вписанный, <i>M</i> – точка пересечения прямых <i>AB</i> и <i>CD, N</i> – точка пересечения прямых <i>BC</i> и <i>AD</i>. Известно, что <i>BM = DN</i>.
Докажите, что <i>CM = CN</i>.
У нумизмата Феди все монеты имеют диаметр не больше 10 см. Он хранит их в плоской коробке размером 30×70 см (в один слой). Ему подарили монету диаметром 25 см. Докажите, что все монеты можно уложить в одну плоскую коробку размером 55×55 см.
В ряд стоят 15 слонов, каждый из которых весит целое число килограммов. Если взять любого слона, кроме стоящего справа, и прибавить к его весу удвоенный вес его правого соседа, то получится 15 тонн (для каждого из 14 слонов). Найдите вес каждого из 15 слонов.
Положительные числа <i>a, b, c, d</i> таковы, что <i>a ≤ b ≤ c ≤ d</i> и <i>a + b + c + d</i> ≥ 1. Докажите, что <i>a</i>² + 3<i>b</i>² + 5<i>c</i>² + 7<i>d</i>² ≥ 1.
Положительные числа <i>a, b, c</i> таковы, что <i>a ≥ b ≥ c</i> и <i>a + b + c</i> ≤ 1. Докажите, что <i>a</i>² + 3<i>b</i>² + 5<i>c</i>² ≤ 1.
Автомат при опускании гривенника выбрасывает пять двушек, а при опускании двушки – пять гривенников.
Может ли Петя, подойдя к автомату с одной двушкой, получить после нескольких опусканий одинаковое количество двушек и гривенников?