Олимпиадные задачи по математике для 9-10 класса
Существует ли выпуклый многоугольник, у которого каждая сторона равна какой-нибудь диагонали, а каждая диагональ– какой-нибудь стороне?
На острове ⅔ всех мужчин женаты и ⅗ всех женщин замужем. Какая доля населения острова состоит в браке?
По кругу расставлено несколько коробочек. В каждой из них может лежать один или несколько шариков (или она может быть пустой). За один ход разрешается взять все шарики из любой коробочки и разложить их, двигаясь по часовой стрелке, начиная со следующей коробочки, кладя в каждую коробочку по одному шарику.
а) Докажите, что если на каждом следующем ходе шарики берут из той коробочки, в которую попал последний шарик на предыдущем ходе, то в какой-то момент повторится начальное размещение шариков.
б) Докажите, что за несколько ходов из любого начального размещения шариков по коробочкам можно получить любое другое.
Найдутся ли такие функции <i>p</i>(<i>x</i>) и <i>q</i>(<i>x</i>), что <i>p</i>(<i>x</i>) – чётная функция, а <i>p</i>(<i>q</i>(<i>x</i>)) – нечётная функция (отличная от тождественно нулевой)?
На доске нарисован правильный многоугольник. Володя хочет отметить <i>k</i> точек на его периметре так, чтобы не существовало другого правильного многоугольника (не обязательно с тем же числом сторон), также содержащего отмеченные точки на своем периметре.
Найдите наименьшее <i>k</i>, достаточное для любого исходного многоугольника.