Олимпиадные задачи по математике для 6-10 класса - сложность 2-3 с решениями
В окружность Ω вписан четырёхугольник <i>ABCD</i>, диагонали <i>AC</i> и <i>BD</i> которого перпендикулярны. На сторонах <i>AB</i> и <i>CD</i> во внешнюю сторону как на диаметрах построены дуги α и β. Рассмотрим две луночки, образованные окружностью Ω и дугами α и β (см. рис.). Докажите, что максимальные радиусы окружностей, вписанных в эти луночки, равны.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/116915/problem_116915_img_2.gif"></div>
Дана четырёхугольная пирамида, в которую можно вписать сферу. Точку касания этой сферы с основанием пирамиды спроектировали на рёбра основания. Докажите, что все проекции лежат на одной окружности.
Дан четырёхугольник <i>ABCD</i>. Его противоположные стороны <i>AB</i> и <i>CD</i> пересекаются в точке <i>K</i>. Его диагонали пересекаются в точке <i>L</i>. Известно, что прямая <i>KL</i> проходит через центр тяжести вершин четырёхугольника <i>ABCD</i>. Докажите, что <i>ABCD</i> – трапеция.
Окружность $\omega$ касается прямых $a$ и $b$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Произвольная касательная к $\omega$ пересекает $a$ и $b$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Точки $X'$ и $Y'$ симметричны точкам $X$ и $Y$ относительно $A$ и $B$ соответственно. Найдите геометрическое место проекций центра окружности на $X'Y'$.
При каких $n$ можно замостить плоскость равными фигурами, ограниченными $n$ дугами окружностей?
На плоскости провели несколько окружностей и отметили все точки их пересечения или касания. Может ли оказаться, что на каждой окружности лежат ровно четыре отмеченных точки, а через каждую отмеченную точку проходят ровно четыре окружности?
На плоскости провели несколько окружностей и отметили все точки их пересечения или касания. Может ли оказаться, что на каждой окружности лежат ровно пять отмеченных точек, а через каждую отмеченную точку проходят ровно пять окружностей?
В пространстве даны несколько точек и несколько плоскостей. Известно, что через любые две точки проходят ровно две плоскости, а каждая плоскость содержит не меньше четырех точек. Верно ли, что все точки лежат на одной прямой?
Дан вписанный $n$-угольник. Оказалось что середины всех его сторон лежат на одной окружности. Стороны $n$-угольника отсекают от этой окружности $n$ дуг, лежащих вне $n$-угольника. Докажите, что эти дуги можно покрасить в красный и синий цвет так, чтобы сумма длин красных дуг равнялась сумме длин синих.
Окружности $\omega_1$, $\omega_2$ с центрами $O_1$, $O_2$ соответственно лежат одна вне другой. На этих окружностях взяты точки $C_1$, $C_2$, лежащие по одну сторону от прямой $O_1O_2$. Луч $O_1C_1$ пересекает $\omega_2$ в точках $A_2$, $B_2$, а луч $O_2C_2$ пересекает $\omega_1$ в точках $A_1$, $B_1$. Докажите, что $\angle A_1O_1B_1=\angle A_2B_2C_2$ тогда и только тогда, когда $C_1C_2\parallel O_1O_2$.
Внутри четырехугольника $ABCD$ взяли точку $P$. Прямые $BC$ и $AD$ пересекаются в точке $X$. Оказалось, что прямая $XP$ является внешней биссектрисой углов $APD$ и $BPC$. Пусть $PY$ и $PZ$ – биссектрисы треугольников $APB$ и $DPC$. Докажите, что точки $X$, $Y$ и $Z$ лежат на одной прямой.
На поверхности равногранного тетраэдра сидят два муравья. Докажите, что они могут встретиться, преодолев в сумме расстояние, не превосходящее диаметра окружности, описанной около грани тетраэдра.
Центр окружности ω<sub>2</sub> лежит на окружности ω<sub>1</sub>. Из точки <i>X</i> окружности ω<sub>1</sub> проведены касательные XP и XQ к окружности ω<sub>2</sub> (<i>P</i> и <i>Q</i> – точки касания), которые повторно пересекают ω<sub>1</sub> в точках <i>R</i> и <i>S</i>. Докажите, что прямая <i>PQ</i> проходит через середину отрезка <i>RS</i>.
Дан треугольник <i>ABC, O</i> – центр его описанной окружности. Проекции точек <i>D</i> и <i>X</i> на стороны треугольника лежат на прямых <i>l</i> и <i>L</i>, причём <i>l || XO</i>. Докажите, что прямая <i>L</i> образует равные углы с прямыми <i>AB</i> и <i>CD</i>.
Дан правильный семиугольник <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>3</sub><i>A</i><sub>4</sub><i>A</i><sub>5</sub><i>A</i><sub>6</sub><i>A</i><sub>7</sub>. Прямые <i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>3</sub> и <i>A</i><sub>5</sub><i>A</i><sub>6</sub> пересекаются в точке <i>X</i>, а прямые <i>A</i><sub>3</sub><i>A</i><sub>5</sub> и <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>6</sub> – в точке <i>Y</i>.
Докажите,...
В угол с вершиной <i>A</i> вписана окружность, касающаяся сторон угла в точках <i>B</i> и <i>C</i>. Прямая, проходящая через <i>A</i>, пересекает окружность в точках <i>D</i> и <i>E</i>. Хорда <i>BX</i> параллельна прямой <i>DE</i>. Докажите, что отрезок <i>XC</i> проходит через середину отрезка <i>DE</i>.
Точки <i>A', B', C'</i> лежат на сторонах <i>BC, CA, AB</i> треугольника <i>ABC</i>. Точка <i>X</i> такова, что ∠<i>AXB</i> = ∠<i>A'C'B'</i> + ∠<i>ACB</i> и ∠<i>BXC</i> = ∠<i>B'A'C'</i> + ∠<i>BAC</i>.
Докажите, что четырёхугольник <i>XA'BC'</i> – вписанный.
В сегмент, ограниченный хордой и дугой <i>AB</i> окружности, вписана окружность ω с центром <i>I</i>. Обозначим середину указанной дуги <i>AB</i> через <i>M</i>, а середину дополнительной дуги через <i>N</i>. Из точки <i>N</i> проведены две прямые, касающиеся ω в точках <i>C</i> и <i>D</i>. Противоположные стороны <i>AD</i> и <i>BC</i> четырёхугольника <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>Y</i>, а его диагонали пересекаются в точке <i>X</i>. Докажите, что точки <i>X, Y, I</i> и <i>M</i> лежат на одной прямой.
В четырёхугольнике <i>ABCD</i> углы <i>A</i> и <i>C</i> – прямые. На сторонах <i>AB</i> и <i>CD</i> как на диаметрах построены окружности, пересекающиеся в точках <i>X</i> и <i>Y</i>. Докажите, что прямая <i>XY</i> проходит через середину <i>K</i> диагонали <i>AC</i>
Точка <i>M</i> – середина стороны <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i>. На отрезках <i>AM</i> и <i>CM</i> выбраны точки <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно таким образом, что <i>PQ = <sup>AC</sup></i>/<sub>2</sub>. Описанная окружность треугольника <i>ABQ</i> второй раз пересекает сторону <i>BC</i> в точке <i>X</i>, а описанная окружность треугольника <i>BCP</i>, второй раз пересекает сторону <i>AB</i> в точке <i>Y</i>. Докажите, что четырёхугольник <i>BXMY</i> – вписанный.
Вписанная окружность треугольника <i>ABC</i> касается его сторон в точках <i>A', B'</i> и <i>C'</i>. Известно, что ортоцентры треугольников <i>ABC</i> и <i>A'B'C'</i> совпадают. Верно ли, что треугольник <i>ABC</i> – правильный?
Две окружности ω<sub>1</sub> и ω<sub>2</sub> с центрами <i>O</i><sub>1</sub> и <i>O</i><sub>2</sub> пересекаются в точках <i>A</i> и <i>B</i>. Точки <i>C</i> и <i>D</i>, лежащие соответственно на ω<sub>1</sub> и ω<sub>2</sub> по разные стороны от прямой <i>AB</i>, равноудалены от этой прямой. Докажите, что точки <i>C</i> и <i>D</i> равноудалены от середины отрезка <i>O</i><sub>1</sub><i>O</i><sub>2</sub>.
На отрезке <i>AB</i> построена дуга α (см. рис.). Окружность ω касается отрезка <i>AB</i> в точке <i>T</i> и пересекает α в точках <i>C</i> и <i>D</i>. Лучи <i>AC</i> и <i>TD</i> пересекаются в точке <i>E</i>, лучи <i>BD</i> и <i>TC</i> – в точке <i>F</i>. Докажите, что прямые <i>EF</i> и <i>AB</i> параллельны.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/64390/problem_64390_img_2.png"></div>
Внутри угла <i>AOD</i> проведены лучи <i>OB</i> и <i>OC</i>, причём ∠<i>AOB</i> = ∠<i>COD</i>. В углы <i>AOB</i> и <i>COD</i> вписаны непересекающиеся окружности.
Докажите, что точка пересечения общих внутренних касательных к этим окружностям лежит на биссектрисе угла <i>AOD</i>.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/64339/problem_64339_img_2.gif"></div>