Олимпиадные задачи по математике для 10 класса - сложность 1-2 с решениями

Четырёхугольник <i>ABCD</i> вписан в окружность. Перпендикуляр, опущенный из вершины <i>C</i> на биссектрису угла <i>ABD</i>, пересекает прямую <i>AB</i> в точке <i>C</i>₁; перпендикуляр, опущенный из вершины <i>B</i> на биссектрису угла <i>ACD</i>, пересекает прямую <i>CD</i> в точке <i>B</i>₁. Докажите, что  <i>B</i>₁<i>C</i>₁ || <i>AD</i>.

Пусть <i>a, b, c</i> – длины сторон произвольного треугольника; <i>p</i> – полупериметр; <i>r</i> – радиус вписанной окружности. Докажите неравенство <div align="center"><img src="/storage/problem-media/115857/problem_115857_img_2.gif"></div>

Диагонали вписанного четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $P$. Биссектриса угла $ABD$ пересекает диагональ $AC$ в точке $E$, а биссектриса угла $ACD$ – диагональ $BD$ в точке $F$. Докажите, что прямые $AF$ и $DE$ пересекаются на медиане треугольника $APD$.

Биссектрисы $AI$ и $CI$ пересекают описанную окружность треугольника $ABC$ в точках $A_1$, $C_1$ соответственно. Описанная окружность треугольника $AIC_1$ пересекает сторону $AB$ в точке $C_0$; аналогично определим $A_0$. Докажите, что точки $A_0,$ $A_1$, $C_0$, $C_1$ лежат на одной прямой.

Пусть $BH$ – высота прямоугольного треугольника $ABC$ $(\angle B=90^{\circ})$. Вневписанная окружность треугольника $ABH$, противолежащая вершине $B$, касается прямой $AB$ в точке $A_{1}$; аналогично определяется точка $C_{1}$. Докажите, что $AC\parallel A_{1}C_{1}$.

Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается его сторон $AB$, $BC$, $AC$ в точках $C_{1}$, $A_{1}$, $B_{1}$ соответственно. Пусть $A'$ – точка, симметричная $A_{1}$ относительно прямой $B_{1}C_{1}$; аналогично определяется точка $C'$. Прямые $A'C_{1}$ и $C'A_{1}$ пересекаются в точке $D$. Докажите, что $BD\parallel AC$.

Диагонали вписанного четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $P$. Прямая, проходящая через точку $P$ и перпендикулярная $PD$, пересекает прямую $AD$ в точке $D_{1}$; аналогично определяется точка $A_{1}$. Докажите, что касательная, проведенная в точке $P$ к описанной окружности треугольника $D_{1}PA_{1}$, параллельна прямой $BC$.

Пусть $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ – высоты остроугольного треугольника $ABC$; $A_2$ – точка касания вписанной окружности треугольника $AB_1C_1$ со стороной $B_1C_1$; аналогично определяются точки $B_2$, $C_2$. Докажите, что прямые $A_1A_2$, $B_1B_2$, $C_1C_2$ пересекаются в одной точке.

В треугольнике $ABC$ $(\angle C=90^{\circ})$, $CH$ – высота; $HA_{1}, HB_{1}$ – биссектрисы углов $\angle CHB, \angle AHC$ соответственно; $E, F$ – середины отрезков $HB_{1}$ и $HA_{1}$ соответственно. Докажите, что прямые $AE$ и $BF$ пересекаются на биссектрисе угла $ACB$.

Высоты $AA_1$, $CC_1$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$; $B_0$ – середина стороны $AC$. Прямая, проходящая через вершину $B$ параллельно $AC$, пересекает прямые $B_0A_1$, $B_0C_1$ в точках $A'$, $C'$ соответственно. Докажите, что прямые $AA'$, $CC'$, $BH$ пересекаются в одной точке.

Cерединный перпендикуляр к стороне $AC$ треугольника $ABC$ пересекает прямые $BC$, $AB$ в точках $A_{1}$ и $C_{1}$ соответственно. Точки $O$, $O_{1}$ – центры описанных окружностей треугольников $ABC$ и $A_{1}BC_{1}$ соответственно. Докажите, что $C_{1}O_1\perp AO$.

Пусть $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ – высоты треугольника $ABC$; $A_0$, $C_0$ – точки пересечения описанной окружности треугольника $A_1BC_1$ с прямыми $A_1B_1$ и $C_1B_1$ соответственно. Докажите, что прямые $AA_0$ и $CC_0$ пересекаются на медиане треугольника $ABC$ или параллельны ей.

Окружность $\omega_{1}$ проходит через центр $O$ окружности $\omega_{2}$ и пересекает ее в точках $A$ и $B$. Окружность $\omega_{3}$ с центром в точке $A$ и радиусом $AB$ пересекает повторно окружности $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ в точках $C$ и $D$ (отличных от $B$). Докажите, что точки $C$, $O$, $D$ лежат на одной прямой.

Высоты $AH$, $CH$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекают внутреннюю биссектрису угла $B$ в точках $L_1$, $P_1$, а внешнюю в точках $L_2$, $P_2$. Докажите, что ортоцентры треугольников $HL_1P_1$, $HL_2P_2$ и вершина $B$ лежат на одной прямой.

Две окружности пересекаются в точках <i>A</i> и <i>B</i>. Пусть <i>CD</i> – их общая касательная (<i>C</i> и <i>D</i> – точки касания), а <i>O_a, O_b</i> – центры описанных окружностей треугольников <i>CAD, CBD</i> соответственно. Докажите, что середина отрезка <i>O_aO_b</i> лежит на прямой <i>AB</i>.

Диагонали параллелограмма <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Касательная, проведённая к описанной окружности треугольника <i>BOC</i> в точке <i>O</i>, пересекает луч <i>CB</i> в точке <i>F</i>. Описанная окружность треугольника <i>FOD</i> повторно пересекает прямую <i>BC</i> в точке <i>G</i>. Докажите, что  <i>AG = AB</i>.

В прямоугольном неравнобедренном треугольнике <i>ABC</i> точка <i>M</i> – середина гипотенузы <i>AC</i>, точки <i>H_a</i>, <i>H_c</i> – ортоцентры треугольников <i>ABM, CBM</i> соответственно, прямые <i>AH_c, CH_a</i> пересекаются в точке <i>K</i>. Докажите, что  ∠<i>MBK</i> = 90°.

В неравнобедренном прямоугольном треугольнике <i>ABC</i> точка <i>M</i> – середина гипотенузы <i>AC</i>, точки <i>H_a, H_c</i> – ортоцентры треугольников <i>ABM, CBM</i> соответственно. Докажите, что прямые <i>AH_c, CH_a</i> пересекаются на средней линии треугольника <i>ABC</i>.

Вневписанная окружность прямоугольного треугольника <i>ABC</i>  (∠<i>B</i> = 90°)  касается стороны <i>BC</i> в точке <i>A</i>₁, а прямой <i>AC</i> в точке <i>A</i>₂. Прямая <i>A</i>₁<i>A</i>₂ пересекает (первый раз) вписанную окружность треугольника <i>ABC</i> в точке <i>A'</i>; аналогично определяется точка <i>C'</i>. Докажите, что  <i>AC || A'C'</i>.

На высоте <i>BD</i> треугольника <i>ABC</i> взята такая точка <i>E</i>, что  ∠<i>AEC</i> = 90°.  Точки <i>O</i>₁ и <i>O</i>₂ – центры описанных окружностей треугольников <i>AEB</i> и <i>CEB; F, L</i> – середины отрезков <i>AC</i> и <i>O</i>₁<i>O</i>₂. Докажите, что точки <i>L, E, F</i> лежат на одной прямой.

В треугольнике <i>ABC</i>  ∠<i>B</i> = 60°,  <i>O</i> – центр описанной окружности, <i>BL</i> – биссектриса. Описанная окружность треугольника <i>BOL</i> пересекает описанную окружность треугольника <i>ABC</i> вторично в точке <i>D</i>. Докажите, что  <i>BD</i> ⊥ <i>AC</i>.

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник <i>ABC</i>, касается катетов <i>AC</i> и <i>BC</i> в точках <i>B</i>₁ и <i>A</i>₁, а гипотенузы – в точке <i>C</i>₁. Прямые <i>C</i>₁<i>A</i>₁ и <i>C</i>₁<i>B</i>₁ пересекают <i>CA</i> и <i>CB</i> соответственно в точках <i>B</i>₀ и <i>A</i>₀. Докажите, что  <i>AB</i>₀ = <i>BA</i>₀.

В прямоугольном треугольнике <i>ABC</i>  (∠<i>B</i> = 90°)  проведена высота <i>BH</i>. Окружность, вписанная в треугольник <i>ABH</i>, касается сторон <i>AB, AH</i> в точках <i>H</i>₁, <i>B</i>₁ соответственно; окружность, вписанная в треугольник <i>CBH</i>, касается сторон <i>CB, CH</i> в точках <i>H</i>₂, <i>B</i>₂ соответственно. Пусть <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>H</i>₁<i>BH</i>₂. Докажите, что  <i>OB</i>₁ = <i>OB</i...

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник <i>ABC</i>  (∠<i>ABC</i> = 90°),  касается сторон <i>AB, BC, AC</i> в точках <i>C</i>₁, <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ соответственно. Вневписанная окружность касается стороны <i>BC</i> в точке <i>A</i>₂. <i>A</i>₀ – центр окружности, описанной около треугольника <i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>B</i>₁; аналогично определяется точка <i>C</i>₀. Найдите угол <i>A</i>₀<i&...

Диагонали <i>AC, BD</i> трапеции <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>P</i>. Описанные окружности треугольников <i>ABP, CDP</i> пересекают прямую <i>AD</i> в точках <i>X, Y</i>. Точка <i>M</i> – середина <i>XY</i>. Докажите, что  <i>BM = CM</i>.