Олимпиадные задачи по математике

В остроугольном треугольнике $ABC$ медиана $CM$ и высота $AH$ пересекаются в точке $O$. Вне треугольника отмечена точка $D$ так, что $AOCD$ – параллелограмм. Чему равно $BD$, если известно, что $MO=a$, $OC=b$?

Клетки бумажного квадрата $8 \times 8$ раскрашены в два цвета. Докажите, что Арсений может вырезать из него по линиям сетки два квадрата $2 \times 2$, не имеющих общих клеток, раскраски которых совпадают. (Раскраски, отличающиеся поворотом, считаются разными.)

Про трапецию <i>ABCD</i> с основаниями <i>AD</i> и <i>BC</i> известно, что <i>AB = BD</i>. Пусть точка <i>M</i> – середина боковой стороны <i>CD</i>, а <i>O</i> – точка пересечения отрезков <i>AC</i> и <i>BM</i>. Докажите, что треугольник <i>BOC</i> – равнобедренный.

Существуют ли такие три попарно различных натуральных числа<i>a</i>,<i>b</i>и<i>c</i>, что числа<i>a + b + c</i>и<i>a</i>·<i>b</i>·<i>c</i>являются квадратами некоторых натуральных чисел?