Олимпиадные задачи по теме «Алгебраические уравнения и системы уравнений» для 10 класса - сложность 2-3 с решениями

Ненулевые числа <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i> таковы, что каждые два из трёх уравнений  <i>ax</i>¹¹ + <i>bx</i>⁴ + <i>c</i> = 0,  <i>bx</i>¹¹ + <i>cx</i>⁴ + <i>a</i> = 0,  <i>cx</i>¹¹ + <i>ax</i>⁴ + <i>b</i> = 0  имеют общий корень. Докажите, что все три уравнения имеют общий корень.

Найдите все неотрицательные решения системы уравнений:

    <i>x</i>³ = 2<i>y</i>² – <i>z</i>,

    <i>y</i>³ = 2<i>z</i>² – <i>x</i>,

    <i>z</i>³ = 2<i>x</i>² – <i>y</i>.

Набор чисел<i>a</i>₀,<i>a</i>₁, ...,<i>a_n</i>удовлетворяет условиям:  <i>a</i>₀= 0,  0 ≤<i>a</i>_<i>k</i>+1–<i>a_k</i>≤ 1  при  <i>k</i>= 0, 1, ...,<i>n</i>– 1.  Докажите неравенство  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110096/problem_110096_img_2.gif">

Набор чисел <i>a</i>₀, <i>a</i>₁, ..., <i>a_n</i> удовлетворяет условиям:  <i>a</i>₀ = 0,  <i>a</i>_<i>k</i>+1 ≥ <i>a</i>_<i>k</i> + 1  при  <i>k</i> = 0, 1, ..., <i>n</i> – 1.  Докажите неравенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110087/problem_110087_img_2.gif">

Решите уравнение  {(<i>x</i> + 1)³} = <i>x</i>³.

Известно, что уравнение  <i>ax</i>⁵ + <i>bx</i>⁴ + <i>c</i> = 0  имеет три различных корня. Докажите, что уравнение  <i>cx</i>⁵ + <i>bx + a</i> = 0  также имеет три различных корня.

Уравнение  <i>x</i>² + <i>ax + b</i> = 0  имеет два различных действительных корня.

Докажите, что уравнение  <i>x</i>⁴ + <i>ax</i>³ + (<i>b</i> – 2)<i>x</i>² – <i>ax</i> + 1 = 0  имеет четыре различных действительных корня.

Решите в положительных числах систему уравнений     <img src="/storage/problem-media/109538/problem_109538_img_2.gif">

Значение <i>a</i> подобрано так, что число корней первого из уравнений  4^<i>x</i> – 4^–<i>x</i> = 2 cos <i>ax</i>,  4^<i>x</i> + 4^–<i>x</i> = 2 cos <i>ax</i> + 4  равно 2007.

Сколько корней при том же <i>a</i> имеет второе уравнение?

Решите уравнение:  (<i>x</i>³ – 2)(2^{sin <i>x</i>} – 1) + (2^<i>x</i>³ – 4) sin <i>x</i> = 0.

Решить уравнение  (<i>x</i>² – <i>x</i> + 1)⁴ – 10<i>x</i>²(<i>x</i>² – <i>x</i> + 1)² + 9<i>x</i>⁴ = 0.

Решить систему уравнений     1 − <i>x</i>₁<i>x</i>₂<i>x</i>₃ = 0,

    1 + <i>x</i>₂<i>x</i>₃<i>x</i>₄ = 0,

    1 − <i>x</i>₃<i>x</i>₄<i>x</i>₅ = 0,

    1 + <i>x</i>₄<i>x</i>₅<i>x</i>₆ = 0,

      ...

    1 − <i>x</i>₄₇<i>x</i>₄₈<i>x</i>₄₉ = 0,

    1 + <i&...

Найти все действительные решения системы уравнений

    <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² = 1,

    <i>x</i>³ + <i>y</i>³ + <i>z</i>³ = 1.

Найти решение системы

  <i>x</i>⁴ + <i>y</i>⁴ = 17,

  <i>x + y</i> = 3.

Решить систему уравнений     <img align="middle" src="/storage/problem-media/108989/problem_108989_img_2.gif">

Рассматривается выпуклый четырёхугольник <i>ABCD</i>. Пары его противоположных сторон продолжены до пересечения: <i>AB</i> и <i>CD</i> – в точке <i>P, CB</i> и <i>DA</i> – в точке <i>Q</i>. Пусть <i>l_A, l_B, l_C</i> и <i>l_D</i> – биссектрисы внешних углов четырёхугольника при вершинах соответственно <i>A, B, C, D</i>. Пусть <i>l_P</i> и <i>l_Q</i> – внешние биссектрисы углов соответственно <i>A_PD</i> и <i>A_QB</i> (то есть биссектрисы углов, дополняющих эти угл...

Натуральное число <i>n</i> таково, что  3<i>n</i> + 1  и  10<i>n</i> + 1  являются квадратами натуральных чисел. Докажите, что число  29<i>n</i> + 11  – составное.

Пусть   <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>² + 12<i>x</i> + 30.  Решите уравнение   <i>f</i>(<i>f</i>(<i>f</i>(<i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>))))) = 0.

Решите систему уравнений:

    <i>x</i>² + 4sin²<i>y</i> – 4 = 0,

    cos <i>x</i> – 2cos²<i>y</i> – 1 = 0.

Положительные числа <i>A, B, C</i> и <i>D</i> таковы, что система уравнений

    <i>x</i>² + <i>y</i>² = <i>A</i>,

    |<i>x| + |y| = B</i>

имеет <i>m</i> решений, а система уравнений

    <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² = <i>C</i>,

    |<i>x| + |y| + |z| = D</i>

имеет <i>n</i> решений. Известно, что  <i>m > n</i> > 1.  Найдите <i>m</i> и <i>n</i>.

Решите систему уравнений:

   (<i>x</i>₃ + <i>x</i>₄ + <i>x</i>₅)⁵ = 3<i>x</i>₁,

   (<i>x</i>₄ + <i>x</i>₅ + <i>x</i>₁)⁵ = 3<i>x</i>₂,

   (<i>x</i>₅ + <i>x</i>₁ + <i>x</i>₂)⁵ = 3<i>x</i>₃,

   (<i>x</i>₁ + <i>x</i>₂ + <i>x</i&g...

Найти все решения системы уравнений:   (<i>x + y</i>)³ = <i>z</i>,  (<i>y + z</i>)³ = <i>x</i>,  (<i>z + x</i>)³ = <i>y</i>.

Решите систему уравнений:     1 –<i>x</i>₁<i>x</i>₂= 0,     1 –<i>x</i>₂<i>x</i>₃= 0,     ...     1 –<i>x</i>₂₀₀₀<i>x</i>₂₀₀₁= 0,     1 –<i>x</i>₂₀₀₁<i>x</i>₁= 0.

Функция<i>f</i>(<i>x</i>) при каждом значении  <i>x</i>∈ (− ∞, + ∞)  удовлетворяет равенству  <i>f</i>(<i>x</i>) + (<i>x</i>+ ½)<i>f</i>(1 −<i>x</i>) = 1.   а) Найдите<i>f</i>(0) и<i>f</i>(1).   б) Найдите все такие функции<i>f</i>(<i>x</i>).

Решите уравнение  (1 + <i>x + x</i>²)(1 + <i>x + ... + x</i>¹⁰) = (1 + <i>x + ... + x</i>⁶)².