Олимпиадные задачи по теме «Многочлены» для 11 класса - сложность 2 с решениями

Найдите наибольшее значение выражения  <i>ab + bc + ac + abc</i>,  если  <i>a + b + c</i> = 12  (<i>a, b</i> и <i>с</i> – неотрицательные числа).

Дан многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) с целыми коэффициентами. Известно, что  <i>Р</i>(1) = 2013,  <i>Р</i>(2013) = 1,  <i>P</i>(<i>k</i>) = <i>k</i>,  где <i>k</i> – некоторое целое число. Найдите <i>k</i>.

Коэффициенты квадратного уравнения  <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> = 0  удовлетворяют условию  2<i>a</i> + 3<i>b</i> + 6<i>c</i> = 0.

Докажите, что это уравнение имеет корень на интервале  (0, 1).

На какую наибольшую степень двойки делится число  10²⁰ – 2²⁰?

Для заданных значений <i>a, b, c</i> и <i>d</i> оказалось, что графики функций  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116697/problem_116697_img_2.gif">  и  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116697/problem_116697_img_3.gif">  имеют ровно одну общую точку. Докажите, что графики функций  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116697/problem_116697_img_4.gif">  и  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116697/problem_116697_img_5.gif">  также имеют ровно одну общую точку.

Даны два различных приведённых кубических многочлена <i>F</i>(<i>x</i>) и <i>G</i>(<i>x</i>). Выписали все корни уравнений  <i>F</i>(<i>x</i>) = 0,  <i>G</i>(<i>x</i>) = 0,  <i>F</i>(<i>x</i>) = <i>G</i>(<i>x</i>). Оказалось, что выписаны восемь различных чисел. Докажите, что наибольшее и наименьшее из них не могут одновременно являться корнями многочлена <i>F</i>(<i>x</i>).

Решите уравнение в целых числах:  <i>n</i>⁴ + 2<i>n</i>² + 2<i>n</i>² + 2<i>n</i> + 1 = <i>m</i>². 

Решите неравенство:  [<i>x</i>]·{<i>x</i>} < <i>x</i> – 1.

В турнире по волейболу <i>n</i> команд сыграли в один круг (каждая играла с каждой по одному разу, ничьих в волейболе не бывает). Пусть <i>Р</i> – сумма квадратов чисел, задающих количество побед каждой команды, <i>Q</i> – сумма квадратов чисел, задающих количество их поражений. Докажите, что  <i>P = Q</i>.

Найдите значение выражения  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116618/problem_116618_img_2.gif"> .

Прямая пересекает график функции  <i>y = x</i>²  в точках с абсциссами <i>x</i>₁ и <i>x</i>₂, а ось абсцисс – в точке с абсциссой <i>x</i>₃. Докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116488/problem_116488_img_2.gif"> .

Найдите наибольшее значение выражения  <i>x</i>²<i>y</i> – <i>y</i>²<i>x</i>,  если  0 ≤ <i>x</i> ≤ 1  и  0 ≤ <i>y</i> ≤ 1.

Барон Мюнхгаузен попросил задумать непостоянный многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) с целыми неотрицательными коэффициентами и сообщить ему только значения <i>P</i>(2) и <i>P</i>(<i>P</i>(2)). Барон утверждает, что он только по этим данным всегда может восстановить задуманный многочлен. Не ошибается ли барон?

Существуют ли такие натуральные числа <i>a, b, c, d</i>, что  <i>a</i>³ + <i>b</i>³ + <i>c</i>³ + <i>d</i>³ = 100¹⁰⁰ ?

Сравните между собой наименьшие положительные корни многочленов  <i>x</i>²⁰¹¹ + 2011<i>x</i> – 1  и  <i>x</i>²⁰¹¹ – 2011<i>x</i> + 1.

Докажите, что ни при каких натуральных значениях <i>x</i> и <i>y</i> число  <i>x</i>⁸ – <i>x</i>⁷<i>y + x</i>⁶<i>y</i>² – ... – <i>xy</i>⁷ + <i>y</i>⁸  не является простым.

Существуют ли такие натуральные <i>x</i> и <i>y</i>, что  <i>x</i>⁴ – <i>y</i>⁴ = <i>x</i>³ + <i>y</i>³?

Задайте формулой какую-нибудь квадратичную функцию, график которой пересекает оси координат в вершинах прямоугольного треугольника.

При каких значениях <i>c</i> числа  sin α  и  cos α  являются корнями квадратного уравнения  5<i>x</i>² – 3<i>x + c</i> = 0  (α – некоторый угол)?

Числа <i>p</i> и <i>q</i> таковы, что параболы  <i>y</i> = – 2<i>x</i>²  и  <i>y = x</i>² + <i>px + q</i>  пересекаются в двух точках, ограничивая некоторую фигуру.

Найдите уравнение вертикальной прямой, делящей площадь этой фигуры пополам.

Найдите все положительные корни уравнения  <i>x^x + x</i>^1–<i>x</i> = <i>x</i> + 1.

Найдите все <i>x</i>, при которых уравнение  <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² + 2<i>xyz</i> = 1  (относительно <i>z</i>) имеет действительное решение при любом <i>y</i>.

Пусть <i>P</i>(<i>x</i>) – многочлен нечётной степени. Докажите, что уравнение  <i>P</i>(<i>P</i>(<i>x</i>)) = 0  имеет не меньше различных действительных корней, чем уравнение  <i>P</i>(<i>x</i>) = 0.

Приведённый квадратный трёхчлен  <i>f</i>(<i>x</i>) имеет два различных корня. Может ли так оказаться, что уравнение  <i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) = 0  имеет три различных корня, а уравнение  <i>f</i>(<i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>))) = 0  – семь различных корней?

На доске написано:  <i>x</i>³ + ...<i>x</i>² + ...<i>x</i> + ... = 0.  Два школьника по очереди вписывают вместо многоточий действительные числа. Цель первого – получить уравнение, имеющее ровно один действительный корень. Сможет ли второй ему помешать?