Олимпиадные задачи по теме «Комбинаторная геометрия» для 5-7 класса - сложность 4-5 с решениями
Комбинаторная геометрия
НазадНачертите два четырехугольника с вершинами в узлах сетки, из которых можно сложить а) как треугольник, так и пятиугольник; б) и треугольник, и четырехугольник, и пятиугольник. Покажите, как это можно сделать.
Можно ли в клетках бесконечного клетчатого листа расставить натуральные числа таким образом, чтобы при любых натуральных <i>m, n</i> > 100 сумма чисел в любом прямоугольнике <i>m</i>×<i>n</i> клеток делилась на <i>m + n</i>?
Петя разрезал прямоугольный лист бумаги по прямой. Затем он разрезал по прямой один из получившихся кусков. Затем он проделал то же самое с одним из трёх получившихся кусков и т.д. Докажите, что после достаточного количества разрезаний можно будет выбрать среди получившихся кусков 100 многоугольников с одинаковым числом вершин (например, 100 треугольников или 100 четырёхугольников и т.д.).
а) Из картона вырезали 7 выпуклых многоугольников и положили на стол так, что любые 6 из них можно прибить к столу двумя гвоздями, а все 7 нельзя. Приведите пример таких многоугольников и их расположения. (Многоугольники могут перекрываться.) б) Из картона вырезали 8 выпуклых многоугольников и положили на стол так, что любые 7 из них можно прибить к столу двумя гвоздями, а все 8 — нельзя. Приведите пример таких многоугольников и их расположения. (Многоугольники могут перекрываться.)
а) Наконец, у Снежной Королевы появились все квадраты с целыми сторонами, но каждый в единственном экземпляре. Королева пообещала Каю, что он станет мудрым, если сможет из каких-то имеющихся квадратов сложить прямоугольник. Сможет ли он это сделать? б) Отдыхая, Кай стал заполнять стеклянный аквариум ледяными кубиками, которые лежали рядом. Кубики были самых разных размеров, но среди них не было двух одинаковых. Сможет ли Кай заполнить аквариум кубиками целиком?
Каждая клетка шахматной доски закрашена в один из цветов – синий или красный. Докажите, что клетки одного из цветов обладают тем свойством, что их может обойти шахматный ферзь (на клетках этого цвета ферзь может побывать не один раз, на клетки другого цвета он не ставится, но может через них перепрыгивать).
Двое играют в «крестики–нолики» на бесконечном листе клетчатой бумаги. Начинающий ставит крестик в любую клетку. Каждым следующим своим ходом он должен ставить крестик в свободную клетку, соседнюю с одной из клеток, где уже стоит крестик; соседней с данной клеткой считаем любую, имеющую с ней общую сторону или общую вершину. Второй играющий каждым своим ходом может ставить сразу три нолика в любые три свободные клетки (не обязательно рядом друг с другом или с ранее поставленными ноликами). На рисунке изображена одна из позиций, которые могут возникнуть после третьего хода. Докажите, что как бы ни играл первый игрок, второй может его «запереть»: добиться того, чтобы первому было некуда поставить крестик. Исследуйте аналогичные игры, в которых второму разрешено за один ход ставить не три, а...
Можно ли разбить правильный треугольник на миллион многоугольников так, чтобы никакая прямая не пересекала более сорока из этих многоугольников?Мы говорим, что прямая пересекает многоугольник, если она имеет с ним хотя бы одну общую точку.
На плоскости расположено<i>n</i>$\ge$5 окружностей так, что любые три из них имеют общую точку. Докажите, что тогда и все окружности имеют общую точку.
На окружности отметили 4<i>n</i>точек и окрасили их через одну в красный и синий цвета. Точки каждого цвета разбили на пары, а точки каждой пары соединили отрезками того же цвета. Докажите, что если никакие три отрезка не пересекаются в одной точке, то найдется по крайней мере <i>n</i>точек пересечения красных отрезков с синими.
Точка <i>O</i>, лежащая внутри выпуклого многоугольника<i>A</i><sub>1</sub>...<i>A</i><sub>n</sub>, обладает тем свойством, что любая прямая<i>OA</i><sub>i</sub>содержит еще одну вершину <i>A</i><sub>j</sub>. Докажите, что кроме точки <i>O</i>никакая другая точка не обладает этим свойством.
Разрежьте разносторонний треугольник на 7 равнобедренных, три из которых равны.
Разрежьте произвольный тупоугольный треугольник на 7 остроугольных.
Можно ли какой-нибудь невыпуклый 5-угольник разрезать на два равных 5-угольника?
Разрежьте квадрат на 8 остроугольных треугольников.
а) Докажите, что любой неравносторонний треугольник можно разрезать на неравные треугольники, подобные исходному. б) Докажите, что правильный треугольник нельзя разрезать на неравные правильные треугольники.
В парке растет 10000 деревьев, посаженных квадратно-гнездовым способом (100 рядов по 100 деревьев). Какое наибольшее число деревьев можно срубить, чтобы выполнялось следующее условие: если встать на любой пень, то не будет видно ни одного другого пня? (Деревья можно считать достаточно тонкими.)