Олимпиадные задачи по теме «Треугольник Паскаля и бином Ньютона» для 8 класса

Сумма цифр натурального числа <i>n</i> равна 100. Может ли сумма цифр числа <i>n</i>³ равняться 1000000?

Докажите, что при любых натуральных  0 <<i>k</i><<i>m < n</i>  числа  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111922/problem_111922_img_2.gif">  и  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111922/problem_111922_img_3.gif">  не взаимно просты.

Доказать, что     <img src="/storage/problem-media/109151/problem_109151_img_2.gif"> <div align="center"><img src="/storage/problem-media/109151/problem_109151_img_3.gif"></div>

Рассматривается числовой треугольник: <div align="center"><img src="/storage/problem-media/98176/problem_98176_img_2.gif"></div>(первая строчка задана, а каждый элемент остальных строчек вычисляется как разность двух элементов, которые стоят над ним). В 1993-й строчке – один элемент. Найдите его.

Каждое неотрицательное целое число представимо, причём единственным образом, в виде   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73613/problem_73613_img_2.gif">   где <i>x</i> и <i>y</i> – целые неотрицательные числа. Докажите это.

В Анчурии проходит единый государственный экзамен. Вероятность угадать верный ответ на каждый вопрос экзамена равна 0,25. В 2011 году, чтобы получить аттестат, нужно было ответить верно на три вопроса из 20. В 2012 году Управление школ Анчурии решило, что три вопроса это мало. Теперь нужно верно ответить на шесть вопросов из 40. Спрашивается, если ничего не знать, а просто угадывать ответы, в каком году вероятность получить анчурийский аттестат выше – в 2011 или в 2012?

Вероятность того, что купленная лампочка будет работать, равна 0,95.

Сколько нужно купить лампочек, чтобы с вероятностью 0,99 среди них было не менее пяти работающих?

Предположим, что у нас имеется 1000000 автобусных билетов с номерами от 000000 до 999999. Будем называть билет <i>счастливым</i>, если сумма первых трёх цифр его номера равна сумме трёх последних. Пусть <i>N</i> – количество счастливых билетов. Докажите равенства:

  а)  (1 + <i>x</i> + ... + <i>x</i>⁹)³(1 + <i>x</i>^–1 + ... + <i>x</i>^–9)³ = <i>x</i>²⁷ + ... + <i>a</i>₁<i>x</i> + <i>N</i> + <i>a</i>₁<i>x</i> + ... + <i>x</i>^–27;...

Пусть <i>a_n</i> – число решений уравнения  <i>x</i>₁ + ... + <i>x_k</i> = <i>n</i>   в целых неотрицательных числах и <i>F</i>(<i>x</i>) – производящая функция последовательности <i>a_n</i>.

  а) Докажите равенства:  <i>F</i>(<i>x</i>) = (1 + <i>x</i> + <i>x</i>² + ...)^<i>k</i> = (1 – <i>x</i>)^–<i>k</i>.

  б) Найдите формулу для <i>a_n</i>, пользуясь задачей <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161490">161490</a>.

Докажите, что если  <i>a + b + c</i> = 0,  то   2(<i>a</i>⁵ + <i>b</i>⁵ + <i>c</i>⁵) = 5<i>abc</i>(<i>a</i>² + <i>b</i>² + <i>c</i>²).

При каких натуральных <i>n</i> число  (<img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60871/problem_60871_img_2.gif"> + 1)^<i>n</i> – (<img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60871/problem_60871_img_2.gif"> – 1)^<i>n</i>  будет целым?

Докажите, что если <i>p</i> – простое число, то   (<i>a</i> + <i>b</i>)^<i>p</i> – <i>a^p – b^p</i>   делится на  <i>p</i> при любых целых <i>a</i> и <i>b</i>.

а) Докажите, что если <i>p</i> — простое число и  2 ≤ <i>k ≤ p</i> – 2,  то  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60670/problem_60670_img_2.gif">  делится на <i>p</i>. б) Верно ли обратное утверждение?

Докажите, что если <i>p</i> – простое число и  1 ≤ <i>k ≤ p</i> – 1,  то  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60668/problem_60668_img_2.gif">  делится на <i>p</i>.

Докажите, что число  <img width="100" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60558/problem_60558_img_2.gif">  (<i>m</i>, <i>n</i> ≥ 0)  целое.

В разложении  (<i>x + y</i>)^<i>n</i>  по формуле бинома Ньютона второй член оказался равен 240, третий – 720, а четвёртый – 1080. Найдите <i>x, y</i> и <i>n</i>.

Докажите равенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60414/problem_60414_img_2.gif">

Вычислите суммы:   a)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60412/problem_60412_img_2.gif">   б)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60412/problem_60412_img_3.gif">   в)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60412/problem_60412_img_4.gif">

При каких значениях <i>n</i> все коэффициенты в разложении бинома Ньютона  (<i>a + b</i>)^<i>n</i>  нечётны?

Сколькими способами, двигаясь по следующей таблице от буквы к букве, <div align="CENTER"> <table cellpadding="3"> <tr><td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER">к</td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> </tr> <tr&g...

Докажите справедливость формулы   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60388/problem_60388_img_2.gif">

Сколькими способами можно прочитать слово "строка", двигаясь вправо или вниз?:

С Т Р О К А

Т Р О К А

Р О К А

О К А

К А А

Последовательность {<i>a_n</i>} определяется правилами:  <i>a</i>₀ = 9,   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/35392/problem_35392_img_2.gif">  .

Докажите, что в десятичной записи числа <i>a</i>₁₀ содержится не менее 1000 девяток.

Найдите число нулей, на которое оканчивается число  11¹⁰⁰ – 1.

Докажите, что каждое число <i>a</i> в треугольнике Паскаля, уменьшенное на 1, равно сумме всех чисел, заполняющих параллелограмм, ограниченный теми правой и левой диагоналями, на пересечении которых стоит число <i>a</i> (сами эти диагонали в рассматриваемый параллелограмм не включаются).