Олимпиадные задачи из источника «глава 1. Метод математической индукции» для 4-9 класса - сложность 1 с решениями
глава 1. Метод математической индукции
НазадДокажите неравенство 2<sup><i>m+n</i>–2</sup> ≥ <i>mn</i>, где <i>m</i> и <i>n</i> – натуральные числа.
Докажите неравенство: |<i>x</i><sub>1</sub>+ ... +<i>x</i><sub>n</sub>| ≤ |<i>x</i><sub>1</sub>| + ... + |<i>x</i><sub>n</sub>|, где<i>x</i><sub>1</sub>,...,<i>x</i><sub>n</sub> — произвольные числа.
Докажите неравенство: 2<i><sup>n</sup> > n</i>.
Докажите неравенство для натуральных <i>n</i> > 1: <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/60304/problem_60304_img_2.gif">
Докажите, что для всех натуральных <i>n</i> число, записываемое 3<sup><i>n</i></sup> единицами, делится на 3<sup><i>n</i></sup>.
Докажите, что для любого натурального <i>n</i> 6<sup>2<i>n</i>+1</sup> + 1 делится на 7.
Докажите, что для любого натурального <i>n</i> 2<sup>5<i>n</i>+3</sup> + 5<sup><i>n</i></sup>·3<sup><i>n</i>+2</sup> делится на 17.
Докажите, что для любого натурального <i>n</i> 10<sup><i>n</i></sup> + 18<i>n</i> – 1 делится на 27.
Докажите тождество:${\dfrac{1^2}{1\cdot3}}$+${\dfrac{2^2}{3\cdot5}}$+...+${\dfrac{n^2}{(2n-1)(2n+1)}}$=${\dfrac{n(n+1)}{2(2n+1)}}$.
Докажите тождество: 1<sup>2</sup>+ 3<sup>2</sup>+...+ (2<i>n</i>- 1)<sup>2</sup>=$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$<i>n</i>(2<i>n</i>- 1)(2<i>n</i>+ 1).
Докажите тождество: 1<sup>2</sup>+ 2<sup>2</sup>+...+<i>n</i><sup>2</sup>=$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{6}}$<i>n</i>(<i>n</i>+ 1)(2<i>n</i>+ 1).
Докажите тождество: 1 + 3 + 5 +...+ (2<i>n</i>– 1) =<i>n</i><sup>2</sup>.
Число<i>x</i>таково, что число<i>x</i>+${\dfrac{1}{x}}$ — целое. Докажите, что при любом натуральном<i>n</i>число<i>x</i><sup>n</sup>+${\frac{1}{x^n}}$также является целым.
<b>Позиционная система счисления.</b>Докажите, что при<i>q</i>$\geqslant$2 каждое натуральное число<i>n</i>может быть единственным образом представлено в виде<div align="CENTER"> <i>n</i> = <i>a</i><sub>k</sub><i>q</i><sup>k</sup> + <i>a</i><sub>k - 1</sub><i>q</i><sup>k - 1</sup> +...+ <i>a</i><sub>1</sub><i>q</i> + <i>a</i><sub>0</sub>, </div>где0$\leqslant$<i>a</i><sub>0</sub>,...,<i>a</i><sub>k</sub><<i>q</i>
Докажите, что если <i>a</i> и <i>b</i> – целые числа и <i>b</i> ≠ 0, то существует единственная пара чисел <i>q</i> и <i>r</i>, для которой <i>a = bq + r</i>, 0 ≤ <i>r < |b</i>|.
Несколько прямых делят плоскость на части. Докажите, что эти части можно раскрасить в 2 цвета так, что граничащие части будут иметь разный цвет.
Доказать, что <i>n</i>³ + 5<i>n</i> делится на 6 при любом целом <i>n</i>.