Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Выпуклость» для 10-11 класса - сложность 3-5 с решениями
параграф 3. Выпуклость
НазадДокажите, что если α < β, то <i>S</i><sub>α</sub>(<b><i>x</i></b>) ≤ <i>S</i><sub>β</sub>(<b><i>x</i></b>), причём равенство возможно только когда <i>x</i><sub>1</sub> = <i>x</i><sub>2</sub> = ... = <i>x<sub>n</sub></i>.
Определение средних степенных <i>S</i><sub>α</sub>(<b><i>x</i></b>) можно посмотреть в <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=17#srednee_stepennoe">справочнике</a>.
Докажите, что если α < 0 < β, то <i>S</i><sub>α</sub>(<b><i>x</i></b>) ≤ <i>S</i><sub>0</sub>(<b><i>x</i></b>) ≤ <i>S</i><sub>β</sub>(<b><i>x</i></b>), причём <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61414/problem_61414_img_2.gif">
Определение средних степенных <i>S</i><sub>α</sub>(<b><i>x</i></b>) можно посмотреть в <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=17#srednee_stepennoe">справочнике</a>.
Докажите, что если α < β и αβ ≠ 0, то <i>S</i><sub>α</sub>(<b><i>x</i></b>) ≤ <i>S</i><sub>β</sub>(<b><i>x</i></b>).
Определение средних степенных <i>S</i><sub>α</sub>(<b><i>x</i></b>) можно посмотреть в <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=17#srednee_stepennoe">справочнике</a>.
Докажите, что выполняются классические неравенства между средними степенными: <i>S</i><sub>–1</sub>(<b><i>x</i></b>) ≤ <i>S</i><sub>0</sub>(<b><i>x</i></b>) ≤ <i>S</i><sub>1</sub>(<b><i>x</i></b>) ≤ <i>S</i><sub>2</sub>(<b><i>x</i></b>).
Определение средних степенных можно найти в <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=17#srednee_stepennoe">справочнике</a>.
Пусть <i>p</i> и <i>q</i> – положительные числа, причём <sup>1</sup>/<sub><i>p</i></sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>q</i></sub> = 1. Докажите, что <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61411/problem_61411_img_2.gif"> Значения переменных считаются положительными.
Докажите неравенства:
а) <i>n</i>(<i>x</i><sub>1</sub> + ... + <i>x<sub>n</sub></i>) ≥ (<img width="34" height="30" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61409/problem_61409_img_2.gif"> + ... + <img width="34" height="30" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61409/problem_61409_img_3.gif">)²
б) <img width="119" height="55" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61409/problem_61409_img_4.gif"> ≤ <img width="24" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/stor...