Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Конечные разности» - сложность 2 с решениями

Пусть<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) — гармоническая функция (определение смотри в задаче<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161455">11.28</a>). Докажите, что функции$\Delta_{x}^{}$<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) =<i>f</i>(<i>x</i>+ 1,<i>y</i>) -<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) и$\Delta_{y}^{}$<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) =<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>+ 1) -<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) также будут гармоническими.

Для многочлена  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>³ – <i>x</i>  найдите Δ²<i>f</i>(<i>x</i>).

Объясните, не применяя соображения делимости, почему  <i>f</i>(<i>x</i>) делится на 6 при всех целых <i>x</i>.

Найдите последовательность {<i>a</i>_n} такую, что$\Delta$<i>a</i>_n=<i>n</i>2ⁿ. (Вспомните как вычисляют$\int$<i>xe</i>^x d<i>x</i>.)

<b>Преобразование Абеля.</b>Для подсчета интегралов используется формула интегрирования по частям. Докажите следующие две формулы, которые являются дискретным аналогом интегрирования по частям и называются преобразованием Абеля:<div align="CENTER"> <table> <tr valign="MIDDLE"><td align="CENTER">$\displaystyle \sum\limits_{x=0}^{n-1}$<i>f</i> (<i>x</i>)<i>g</i>(<i>x</i>) = <i>f</i> (<i>n</i>)$\displaystyle \sum\limits_{x=0}^{n-1}$<i>g</i>(<i>x</i>) - $\displaystyle \sum\limits_{x=0}^{n-1}$($\displaystyle \Delta$<i>f</i> (<i>x</i>)$\displaystyle \sum\limits_{z=0}^{x}$<i>g</i>(<i>z</i>)...

Экспонентой<i>y</i>=<i>e</i>^xназывается такая функция, для которой выполнены условия<i>y'</i>(<i>x</i>) =<i>y</i>(<i>x</i>) и<i>y</i>(0) = 1. Какая последовательность {<i>a</i>_n} будет обладать аналогичными свойствами, если производную заменить на разностный оператор$\Delta$?

Найдите представление для$\Delta$(<i>a</i>_n^.<i>b</i>_n) через$\Delta$<i>a</i>_nи$\Delta$<i>b</i>_n. Сравните полученную формулу с формулой для производной произведения двух функций.

Докажите следующие свойства оператора взятия конечной разности, подобные свойствам оператора дифференцирования: а) $\Delta$${\dfrac{1}{b_n}}$= -${\dfrac{\Delta b_n}{b_nb_{n+1}}}$;        б) $\Delta$$\left(\vphantom{\dfrac{a_n}{b_n}}\right.$${\dfrac{a_n}{b_n}}$$\left.\vphantom{\dfrac{a_n}{b_n}}\right)$=${\dfrac{b_n\Delta a_n-a_n\Delta b_n}{b_nb_{n+1}}}$.

Пусть  <i>f</i>(<i>x</i>) – многочлен степени <i>m</i>. Докажите, что если  <i>m</i> < <i>n</i>,  то  Δ<i>ⁿf</i>(<i>x</i>) = 0.  Чему равна величина Δ<i>^mf</i>(<i>x</i>)?

Докажите формулу<div align="CENTER"> $\displaystyle \Delta^{n}{}$<i>f</i> (<i>x</i>) = $\displaystyle \sum\limits{k=0}^{n}$<i>C</i>_n^k(- 1)^{n - k}<i>f</i> (<i>x</i> + <i>k</i>). </div>

Докажите, что если <i>Q</i>(<i>x</i>) – многочлен степени  <i>m</i> + 1,  то  <i>P</i>(<i>x</i>) = Δ<i>Q</i>(<i>x</i>)  – многочлен степени <i>m</i>.

Докажите тождество<div align="CENTER"> $\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{n}$$\displaystyle {\dfrac{1}{F_{2^k}}}$ = 3 - $\displaystyle {\dfrac{F_{2^n-1}}{F_{2^n}}}$        (<i>n</i> $\displaystyle \geqslant$ 1). </div>

Выведите формулу для суммы1³+ 2³+ 3³+...+<i>n</i>³.