Олимпиадные задачи из источника «глава 11. Последовательности и ряды» - сложность 2 с решениями

  Пусть <i>f_k,l</i>(<i>x</i>) – производящая функция последовательности <i>P_k,l</i>(<i>n</i>) из задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161525">161525</a>:   <i>f_k,l</i>(<i>x</i>) = <i>P_k,l</i>(0) + <i>xP_k,l</i>(1) + ... + <i>x^klP_k,l</i>(<i>kl</i>).   а) Докажите равенства:  <i>f_k,l</i>(<i>x</i>) = <i>f</i>_{<i>k</i>–1,<i>l</i>}(<i>x</i>) + <i>x^kf...

Обозначим через <i>P_k,l</i>(<i>n</i>) количество разбиений числа <i>n</i> на не более чем <i>k</i> слагаемых, каждое из которых не превосходит <i>l</i>.

Докажите равенства:

  а)  <i>P_k,l</i>(<i>n</i>) – <i>P</i>_{<i>k,l</i>–1}(<i>n</i>) = <i>P</i>_{<i>k</i>–1,<i>l</i>}(<i>n – l</i>);

  б)  <i>P_k,l</i>(<i>n</i>) – <i>P</i>_{<i>k</i>–1,<i>l</i>}(<i>n</i>) = <i>P</i><sub><i>k,l</i>–1</sub&...

Найдите сумму  <i>S_l</i>(<i>x</i>) = <i>g</i>_0,<i>l</i>(<i>x</i>) – <i>g</i>_{1,<i>l</i>–1}(<i>x</i>) + <i>g</i>_{2,<i>l</i>–2}(<i>x</i>) – ... + (–1)<i>^lg</i>_<i>l</i>,0(<i>x</i>).

Определение многочленов Гаусса <i>g_k,l</i>(<i>x</i>) можно найти в <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=12#gaussa">справочнике</a>.

а) Определение (смотри в <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=12#gaussa">справочнике</a>) функций <i>g_k,l</i>(<i>x</i>) не позволяет вычислять их значения при  <i>x</i> = 1.  Но, поскольку функции <i>g_k,l</i>(<i>x</i>) являются многочленами, они определены и при  <i>x</i> = 1.  Докажите равенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61523/problem_61523_img_2.gif"> б) Какие свойства биномиальных коэффициентов получаются, если в свойства б) – г) из задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161522">161522</a> подставить значение  <i>x</i> = 1?

Переменные<i>x</i>и<i>y</i>связаны равенством<div align="CENTER"> <i>x</i> = <i>y</i> + <i>y</i>² + <i>y</i>³ +...+ <i>y</i>ⁿ +... </div>Разложите<i>y</i>по степеням<i>x</i>.

Каков знак<i>n</i>-го члена в разложении произведения<div align="CENTER"> (1 - <i>a</i>)(1 - <i>b</i>)(1 - <i>c</i>)(1 - <i>d</i> )...= 1 - <i>a</i> - <i>b</i> + <i>ab</i> - <i>c</i> + <i>ac</i> + <i>bc</i> - <i>abc</i> - <i>d</i> +... </div>(<i>n</i>= 0, 1, 2,...)?

Определите коэффициент<i>a</i>_nв разложении<div align="CENTER"> (1 + <i>qx</i>)(1 + <i>qx</i>²)(1 + <i>qx</i>⁴)(1 + <i>qx</i>⁸)(1 + <i>qx</i>¹⁶)...= <i>a</i>₀ + <i>a</i>₁<i>x</i> + <i>a</i>₂<i>x</i>² + <i>a</i>₃<i>x</i>³ +... </div>

Обозначим через <i>d</i>(<i>n</i>) количество разбиений числа <i>n</i> на различные слагаемые, а через <i>l</i>(<i>n</i>) – на нечётные. Докажите равенства:   а)  <i>d</i>(0) + <i>d</i>(1)<i>x</i> + <i>d</i>(2)<i>x</i>² + ...  =  (1 + <i>x</i>)(1 + <i>x</i>²)(1 + <i>x</i>³)...;   б)  <i>l</i>(0) + <i>l</i>(1)<i>x</i> + <i>l</i>(2)<i>x</i>² + ...  =  (1 – <i>x</i>)^–1(1 – <i>x</i>³)^–1(1 – <i>x</i>⁵)^–1...;   в)  <i>d</i>(<i>n</i>)...

Докажите, что каждое натуральное число <i>n</i> может быть  2^<i>n</i>–1 – 1  различными способами представлено в виде суммы <i>меньших</i> натуральных слагаемых, если два представления, отличающихся хотя бы порядком слагаемых, считать различными.

Пусть <i>p</i>(<i>n</i>) – количество разбиений числа <i>n</i> (определение разбиений смотри <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=16#Razbienia">здесь</a>). Докажите равенства:

<div align="center"><i>p</i>(0) + <i>p</i>(1)<i>x</i> + <i>p</i>(2)<i>x</i> '' + ...  =  (1 + <i>x</i> + <i>x</i>² + ...)...(1 + <i>x^k</i> + <i>x</i>^2<i>k</i> + ...)...  =  (1 – <i>x</i>)^–1(1 – <i>x</i>²)^–1(1 – <i>x</i>³)^–1... </div> (По определению сч...

Найдите производящие функции последовательностей многочленов Чебышева первого и второго рода:

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/61507/problem_61507_img_2.gif"></div>Определения многочленов Чебышева можно найти в<a href="https://problems.ru/thes.php?letter=12#chebysheva">справочнике</a>.

Назовем<i>экспонентой</i>следующий степенной ряд:

Exp(<i>z</i>)=1+<i>z</i>+<i>z</i>²/2!+...+<i>z</i>ⁿ/n!+... Докажите следующие свойства экспоненты: а)Exp$\nolimits{^\prime}$(<i>z</i>) = Exp$\nolimits$(<i>z</i>);    б)Exp$\nolimits$(($\alpha$+$\beta$)<i>z</i>) = Exp$\nolimits$($\alpha$<i>z</i>)^.Exp$\nolimits$($\beta$<i>z</i>).

Вычислите производящие функции следующих последовательностей:

а)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61497/problem_61497_img_2.gif">   б)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61497/problem_61497_img_3.gif">

Докажите тождество:<div align="CENTER"> <table> <tr valign="MIDDLE"><td align="CENTER">(1 + <i>x</i> + <i>x</i>² +...+ <i>x</i>⁹)(1 + <i>x</i>¹⁰ + <i>x</i>²⁰ +...+ <i>x</i>⁹⁰)×</td> </tr> <tr valign="MIDDLE"><td align="CENTER">×(1 + <i>x</i>¹⁰⁰ + <i>x</i>²⁰⁰ +...+ <i>x</i>⁹⁰⁰)...= $\displaystyle {\dfrac{1}{1-x}}$.</td> </tr> </table> </div>

Вычислите производящие функции следующих последовательностей: <table> <tr><td align="LEFT">а) <i>a</i>_n = <i>n</i>;    б) <i>a</i>_n = <i>n</i>²;    в) <i>a</i>_n = <i>C</i>_mⁿ.</td> </tr> </table>

Пусть<i>F</i>(<i>x</i>) — производящая функция последовательности {<i>a</i>_n}. Докажите равенство$\left.\vphantom{a_n=\dfrac{F^{(n)}(x)}{n!}}\right.$<i>a</i>_n=${\dfrac{F^{(n)}(x)}{n!}}$$\left.\vphantom{a_n=\dfrac{F^{(n)}(x)}{n!}}\right\vert _{x=0}^{}$.

Вычислите: а) (1 +<i>x</i>)^-1;     б) (1 -<i>x</i>)^-1;    в) (1 -<i>x</i>)^-2.

<b>Обращение степенного ряда.</b>Докажите, что если<i>a</i>₀$\ne$0, то для ряда<i>F</i>(<i>x</i>) существует ряд<i>F</i>^-1(<i>x</i>) =<i>b</i>₀+<i>b</i>₁<i>x</i>+...+<i>b</i>_n<i>x</i>ⁿ+... такой, что<i>F</i>(<i>x</i>)<i>F</i>^-1(<i>x</i>) = 1.

Найдите произведения следующих формальных степенных рядов: <table> <tr><td align="LEFT">а) (1 + <i>x</i> + <i>x</i>² + <i>x</i>³ +...)(1 - <i>x</i> + <i>x</i>² - <i>x</i>³ +...);</td> </tr> <tr><td align="LEFT">б) (1 + <i>x</i> + <i>x</i>² + <i>x</i>³ +...)²;</td> </tr> <tr><td align="LEFT"> в) $\left(\vphantom{1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\ldots+\dfrac{x^n}{n!}+\ldots}\right.$1 + <i>x</i> + ${\dfrac{x^2}{2!}}$ +...+ ${\dfrac{x^...

Пусть характеристическое уравнение (<a href="https://problems.ru/view_problem_details_new.php?id=">11.3</a>) последовательности (<a href="https://problems.ru/view_problem_details_new.php?id=">11.2</a>) имеет комплексные корни<i>x</i>_{1, 2}=<i>a</i>±<i>ib</i>=<i>re</i>^{±i$\scriptstyle \varphi$}. Докажите, что для некоторой пары чисел<i>c</i>₁,<i>c</i>₂будет выполняться равенство<div align="CENTER"> <i>a</i>_n = <i>r</i>ⁿ(<i>c</i>₁cos <i>n</i>$\displaystyle \var...

Найдите у чисел   а)  (6 + <img width="33" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61477/problem_61477_img_2.gif">)¹⁹⁹⁹;   б)  (6 + <img width="33" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61477/problem_61477_img_3.gif">)¹⁹⁹⁹;   в)  (6 + <img width="33" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61477/problem_61477_img_3.gif">)²⁰⁰⁰   первые 1000 знаков после запятой.

Докажите, что для любого числа<i>p</i>> 2 найдется такое число$\beta$, что<div align="CENTER"> $\displaystyle \underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots+\sqrt{2+ \sqrt{2+p}}}}}{n~\mbox{\scriptsize {радикалов}}}^{},$ = $\displaystyle \beta^{2^n}{}$ - $\displaystyle \beta^{-2^n}_{}$. </div>

Лягушка прыгает по вершинам треугольника <i>ABC</i>, перемещаясь каждый раз в одну из соседних вершин.

Сколькими способами она может попасть из <i>A</i> в <i>A</i> за <i>n</i> прыжков?

Докажите, что произвольная последовательность<i>Q</i>_n, заданная условиями<div align="CENTER"> <i>Q</i>₀ = $\displaystyle \alpha$,    <i>Q</i>₁ = $\displaystyle \beta$,    <i>Q</i>_{n + 2} = <i>Q</i>_{n + 1} + <i>Q</i>_n    (<i>n</i> $\displaystyle \geqslant$ 0), </div>может быть выражена через числа Фибоначчи<i>F</i>_nи числа Люка<i>L</i>_n(определение чисел Люка смотри в задаче<a href="https://mirolimp.ru/tasks/160585">3.133</a>).

Докажите, что уравнение   (<i>x + y</i><img width="25" height="38" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61465/problem_61465_img_2.gif">)⁴ + (<i>z + t</i><img width="25" height="38" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61465/problem_61465_img_2.gif">)⁴ = 2 + <img width="25" height="38" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61465/problem_61465_img_2.gif">   не имеет решений в рациональных числах.