Олимпиадные задачи из источника «глава 3. Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики» для 7 класса - сложность 1-2 с решениями

Доказать, что остаток от деления простого числа на 30 – простое число или единица.

Доказать: число делителей <i>n</i> не превосходит 2<img width="27" height="33" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78208/problem_78208_img_2.gif">.

<b>Григорианский календарь</b>. Обыкновенный год содержит 365 дней, високосный – 366. <i>n</i>-й год, номер которого не делится на 100, является високосным тогда и только тогда, когда <i>n</i> кратно 4. <i>n</i>-й год, где <i>n</i> кратно 100, является високосным тогда и только тогда, когда <i>n</i> кратно 400. Так, например, 1996 и 2000 годы високосные, а 1997 и 1900 – нет. Эти правила были установлены папой Григорием XIII. До сих пор мы имели ввиду <i>гражданский</i> год, число дней которого должно быть целым. <i>Астрономическим</i> же годом называется период времени, за который Земля совершает полный оборот вокруг Солнца. Считая, что <i>григорианский</i> год полностью согласован с...

Докажите, что для действительного положительного α и натурального <i>d</i> всегда выполнено равенство  [^α/_<i>d</i>] = [^[α]/_<i>d</i>].

Пусть α – действительное положительное число, <i>d</i> – натуральное.

Докажите, что количество натуральных чисел, не превосходящих α и делящихся на <i>d</i>, равно  [^α/_<i>d</i>].

Некоторое натуральное число <i>n</i> имеет два простых делителя. Его квадрат имеет  а) 15;  б) 81 делителей. Сколько делителей имеет куб этого числа?

Найдите наименьшее натуральное <i>n</i>, для которого 1999! не делится на 34^<i>n</i>.

Найдите все двузначные числа, квадрат которых равен кубу суммы их цифр.

Найдите все натуральные  <i>n</i> > 1,  для которых  <i>n</i>³ – 3  делится на  <i>n</i> – 1.

С 1 сентября четыре школьника начали посещать кинотеатр. Первый бывал в нём каждый четвёртый день, второй – каждый пятый, третий – каждый шестой и четвёртый – каждый девятый. Когда второй раз все школьники встретятся в кинотеатре?

Пусть <i>a</i> и <i>n</i> – натуральные числа, большие 1. Докажите, что если число <i>aⁿ</i> – 1 простое, то  <i>a</i> = 2  и <i>n</i> – простое.

(Числа вида  <i>q</i> = 2^<i>n</i> – 1  называются <i>числами Мерсенна</i>.)

Пусть <i>a</i> и <i>n</i> – натуральные числа, большие 1. Докажите, что если число  <i>aⁿ</i> + 1  простое, то <i>a</i> чётно и  <i>n</i> = 2^<i>k</i>.

(Числа вида  <i>f_k</i> = 2^{2^<i>k</i>} + 1  называются <i>числами Ферма</i>.)

Евклидово доказательство бесконечности множества простых чисел наводит на мысль определить рекуррентно <i>числа Евклида</i>:

<i>e</i>₁ = 2,  <i>e_n = e</i>₁<i>e</i>₂...<i>e</i>_<i>n</i>–1 + 1  (<i>n</i> ≥ 2).  Все ли числа <i>e_n</i> являются простыми?

Верно ли, что все числа вида  <i>p</i>₁<i>p</i>₂...<i>p_n</i> + 1 являются простыми? (<i>p_k</i> – <i>k</i>-е простое число.)

Верно ли, что многочлен  <i>P</i>(<i>n</i>) = <i>n</i>² + <i>n</i> + 41  при всех <i>n</i> принимает только простые значения?

Докажите, что при  <i>n</i> > 2  числа  2^<i>n</i> – 1  и  2^<i>n</i> + 1  не могут быть простыми одновременно.

Найдите все простые числа, которые равны сумме двух простых чисел и разности двух простых чисел.

Докажите, что для любого натурального <i>n</i> найдутся <i>n</i> подряд идущих натуральных чисел, среди которых ровно одно простое.

Докажите, что существуют 1000 подряд идущих составных чисел.

Разложите на простые множители числа 111, 1111, 11111, 111111, 1111111.

Когда натуральное число имеет нечётное количество делителей?

Докажите, что составное число <i>n</i> всегда имеет делитель, больший 1, но не больший  <img width="27" height="33" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60461/problem_60461_img_2.gif">.

Докажите, что множество простых чисел вида  <i>p</i> = 6<i>k</i> + 5  бесконечно.

Докажите, что множество простых чисел вида  <i>p</i> = 4<i>k</i> + 3  бесконечно.

Найдите все простые числа <i>p</i> и <i>q</i>, для которых выполняется равенство  <i>p</i>² – 2<i>q</i>² = 1.