Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Сравнения» для 10 класса - сложность 2 с решениями

Известно, что  <i>ax</i>⁴ + <i>bx</i>³ + <i>cx</i>² + <i>dx + e</i>,  где <i>a, b, c, d, e</i> – данные целые числа, при любом целом <i>x</i> делится на 7.

Доказать, что все числа <i>a, b, c, d, e</i> делятся на 7.

Доказать, что многочлен с целыми коэффициентами  <i>a</i>₀<i>xⁿ</i> + <i>a</i>₁<i>x</i>^<i>n</i>–1 + ... + <i>a</i>_<i>n</i>–1<i>x</i> + <i>a_n</i>,  принимающий при  <i>x</i> = 0  и  <i>x</i> = 1  нечётные значения, не имеет целых корней.

Пусть числа <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x_m</i> образуют полную систему вычетов по модулю <i>m</i>. Для каких <i>a</i> и <i>b</i> числа  <i>y_j = ax_j + b</i>  (<i>j</i> = 1, ..., <i>m</i>)  также образуют полную систему вычетов по модулю <i>m</i>?

Докажите, что любые <i>m</i> чисел <i>x</i>₁,..., <i>x_m</i>, попарно не сравнимые по модулю <i>m</i>, представляют собой полную систему вычетов по модулю <i>m</i>.

Докажите что если  (<i>m, n</i>) = 1,  то сравнение   <i>a ≡ b</i> (mod <i>mn</i>)  равносильно одновременному выполнению двух сравнений  <i>a ≡ b</i> (mod <i>m</i>)  и  <i>a ≡ b</i> (mod <i>n</i>).

Решите в целых числах уравнение   2^<i>x</i> – 1 = 5^<i>y</i>.

Решите в натуральных числах уравнение   1! + 2! + ... + <i>n</i>! = <i>m</i>².

<i>p</i> – простое число. Для каких чисел <i>a</i> решением сравнения  <i>ax</i> ≡ 1 (mod <i>p</i>)  будет само число <i>a</i>?

Найдите все такие пары чисел вида <span style="text-decoration: overline;">1<i>xy</i>2</span> и <span style="text-decoration: overline;"><i>x</i>12<i>y</i></span>, что оба числа делятся на 7.

Докажите, что  <i>p</i>^<i>p</i>+2 + (<i>p</i> + 2)^<i>p</i> ≡ 0 (mod 2<i>p</i> + 2),  где  <i>p</i> > 2  – простое число.

Может ли число  ¹/₃ (<i>n</i>² + 1)  быть целым при натуральном <i>n</i>?

Найдите все такие целые числа <i>x</i>, что  <i>x</i> ≡ 3 (mod 7),  <i>x</i>² ≡ 44 (mod 7²),  <i>x</i>³ ≡ 111 (mod 7³).

При каких целых <i>n</i> выражение  <i>n</i>² – <i>n</i> – 4  делится на а) 17;  б) 289?

При каких целых <i>n</i> выражение  <i>n</i>² – 6<i>n</i> – 2  делится на  а) 8;  б) 9;  в) 11;  г) 121?

Пусть в прямоугольном треугольнике длины сторон выражаются целыми числами. Докажите, что

  а) длина одного из катетов кратна 3,

  б) длина одной из трёх сторон делится на 5.

Найдите остаток от деления на 17 числа  2¹⁹⁹⁹ + 1.

Целые числа <i>a, b</i> и <i>c</i> таковы, что  <i>a</i>³ + <i>b</i>³ + <i>c</i>³  делится на 7. Докажите, что <i>abc</i> делится на 7.

Найдите конечную арифметическую прогрессию с разностью 6 максимальной длины, состоящую из простых чисел.

Шестизначное число делится на 7. Его первую цифру стёрли, а затем записали её позади последней цифры.

Докажите, что новое число также делится на 7.

Найдите остатки от деления числа 2²⁰⁰¹ на 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17.

Докажите, что если все коэффициенты уравнения  <i>ax² + bx + c</i> = 0  – целые нечётные числа, то ни один из корней этого уравнения не может быть рациональным.

Равносильны ли сравнения  <i>a ≡ b</i> (mod <i>m</i>)  и   <i>ac ≡ bc</i> (mod <i>mc</i>)?

Когда сравнения  <i>a ≡ b</i> (mod <i>m</i>)  и   <i>ac ≡ bc</i> (mod <i>m</i>)  равносильны?

Из свойств сравнений следует, что с классами вычетов можно делать все операции, которые допустимы для целых чисел: складывать, вычитать, умножать, возводить в степень. Отличие будет лишь в том, что построенная арифметика действует на конечном множестве классов вычетов. Например, для  <i>m</i> = 6  получаются такие таблицы сложения и умножения: <div align="center"><img src="/storage/problem-media/60678/problem_60678_img_2.gif">          <img src="/storage/problem-media/60678/problem_60678_img_3.gif"></div>Постройте аналогичные таблицы сложения и умножения для модулей  <i>m</i>= 7, 8, ..., 13.

<i>p</i> и  8<i>p</i>² + 1  – простые числа. Найдите <i>p</i>.