Олимпиадные задачи из источника «глава 7. Комплексные числа» - сложность 3-4 с решениями

Докажите, что произвольное дробно-линейное отображение вида  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61161/problem_61161_img_2.gif">  с  δ = <i>ad – bc</i> ≠ 0  может быть получено композицией параллельных переносов и отображения вида  <i>w = ^R</i>/_<i>z</i>.

Правильный <i>n</i>-угольник вписан в единичную окружность. Докажите, что

а) сумма квадратов длин всех сторон и всех диагоналей равна <i>n</i>²;

б) сумма длин всех сторон и всех диагоналей равна  <i>n</i> ctg ^π/_2<i>n</i>;

в) произведение длин всех сторон и всех диагоналей равно  <i>n</i>^<i>n</i>/2.

Найдите

а) образ окружности  |<i>z – a – bi</i>| = <img width="66" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61157/problem_61157_img_2.gif">  при отображении <i>w</i> = ¹/_<i>z</i>;

б) образ окружности  |<i>z – a</i>| = <i>R</i>  при отображении  <i>w</i> = <img width="97" height="51" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61157/problem_61157_img_3.gif">.

Куда переходит полоса  2 < Re <i>z</i> < 3  при отображениях:

  а)  <i>w = z</i>^–1;   б)  <i>w</i> = (<i>z</i> – 2)^–1;   в)  <i>w</i> = (<i>z</i> – ⁵/₂)^–1?

Постройте образ квадрата с вершинами  <i>A</i>(0, 0),  <i>B</i>(0, 2),  <i>C</i>(2, 2),  <i>D</i>(2, 0)  при следующих преобразованиях:

  а)  <i>w = iz</i>;   б)  <i>w</i> = 2<i>iz</i> – 1;   в)  <i>w = z</i>²;   г)  <i>w = z</i>^–1.

Докажите при помощи комплексных чисел, что композицией двух гомотетий является гомотетия или параллельный перенос:   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61154/problem_61154_img_2.gif">   причём в первом случае вектор <i>a</i> параллелен прямой <i>A</i>₁<i>A</i>₂, а во втором случае центр результирующей гомотетии <i>A</i> лежит на прямой <i>A</i>₁<i>A</i>₂ и  <i>k = k</i>₁<i>k</i>₂.  Здесь  <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61154/problem_61154_img_3.gif">  обозначает гомотетию...

<з>Выразите в виде  <i>w = f</i>(<i>z</i>)  следующие геометрические преобразования:   а)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61152/problem_61152_img_2.gif">  б)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61152/problem_61152_img_3.gif">  в)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61152/problem_61152_img_4.gif">  г)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61152/problem_61152_img_5.gif">;   д)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61152/problem_61152_img_6.gif">  е)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61152/problem_61152_img_7.gif"&gt...

Многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) при всех действительных <i>x</i> принимает только положительные значения.

Докажите, что найдутся такие многочлены <i>a</i>(<i>x</i>) и <i>b</i>(<i>x</i>), для которых  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>a</i>²(<i>x</i>) + <i>b</i>²(<i>x</i>).

а) Докажите, что при нечётном  <i>n</i> > 1  справедливо равенство:   <img width="31" height="76" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61146/problem_61146_img_2.gif"><img width="29" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61146/problem_61146_img_3.gif"> = <img width="25" height="55" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61146/problem_61146_img_4.gif"> – <img width="26" height="55" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61146/problem_61146_img_5.gif">θ   (0 < θ < 1).

б) Докаж...

Докажите, что при нечётном  <i>n</i> > 1  справедливо равенство   <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/61145/problem_61145_img_2.gif">

Докажите, что все корни уравнения  <i>a</i>(<i>z – b</i>)^<i>n</i> = <i>c</i>(<i>z – d</i> )^<i>n</i>, где <i>a, b, c, d</i> – заданные комплексные числа, расположены на одной окружности или прямой.

Найдите все корни уравнения  (<i>z</i> – 1)^<i>n</i> = (<i>z</i> + 1)^<i>n</i>.

Чему равна сумма квадратов корней данного уравнения?

Найдите остаток от деления многочлена  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>^6<i>n</i> + <i>x</i>^5<i>n</i> + <i>x</i>^4<i>n</i> + <i>x</i>^3<i>n</i> + <i>x</i>^2<i>n</i> + <i>xⁿ</i> + 1  на  <i>Q</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>⁶ + <i>x</i>⁵ + <i>x</i>⁴ + <i>x</i>³ + <i>x</i>² + <i>x</i> + 1,  если известно, что &...

При каких <i>n</i> многочлен  (<i>x</i> + 1)^<i>n</i> – <i>xⁿ</i> – 1  делится на:

  а)  <i>x</i>² + <i>x</i> + 1;   б)  (<i>x</i>² + <i>x</i> + 1)²;   в) (<i>x</i>² + <i>x</i> + 1)³?

При каких <i>n</i> многочлен  (<i>x</i> + 1)^<i>n</i> + <i>xⁿ</i> + 1  делится на:

  а)  <i>x</i>² + <i>x</i> + 1;    б)  (<i>x</i>² + <i>x</i> + 1)²;    в)   (<i>x</i>² + <i>x</i> + 1)³?

Пусть <i>f</i>(<i>x</i>) – многочлен степени <i>n</i> с корнями α₁, ..., α_<i>n</i>. Определим многоугольник <i>M</i> как выпуклую оболочку точек α₁, ..., α_<i>n</i> на комплексной плоскости. Докажите, что корни производной этого многочлена лежат внутри многоугольника <i>M</i>.

Пусть  <i>f</i>(<i>x</i>) = (<i>x – a</i>)(<i>x – b</i>)(<i>x – c</i>)  – многочлен третьей степени с комплексными корнями <i>a, b, c</i>.

Докажите, что корни производной этого многочлена лежат внутри треугольника с вершинами в точках <i>a, b, c</i>.

Докажите, что корни уравнения  <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61134/problem_61134_img_2.gif">  где <i>a, b, c</i> – попарно различные комплексные числа, лежат внутри треугольника с вершинами в точках <i>a, b, c</i>, или на его сторонах (в случае вырожденного треугольника).

Найдите предел   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61131/problem_61131_img_2.gif">

Вычислите суммы:   а)  1 + <i>a</i> cos φ + ... + <i>a</i>^<i>k</i> cos <i>k</i>φ + ... ( |<i>a</i>| < 1);   б)  <i>a</i> sin φ + ... + <i>a</i>^<i>k</i> sin <i>k</i>φ + ... ( |<i>a</i>| < 1);   в)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61130/problem_61130_img_2.gif">   г)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61130/problem_61130_img_3.gif">

Докажите равенство:   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61129/problem_61129_img_2.gif">

а) Докажите равенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61128/problem_61128_img_2.gif"> б) Вычислите суммы   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61128/problem_61128_img_3.gif">

а) Докажите равенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61127/problem_61127_img_2.gif"> б) Вычислите сумму   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61127/problem_61127_img_3.gif">

Вычислите суммы:

а)  cos²<i>x</i> + cos²2<i>x</i> + ... + cos²2<i>nx</i>;

б)  sin²<i>x</i> + sin²2<i>x</i> + ... + sin²2<i>nx</i>.

Докажите равенство:  <img width="250" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61124/problem_61124_img_2.gif"> = tg <i>n</i>α.