Олимпиадные задачи из источника «глава 9. Уравнения и системы» для 4-10 класса - сложность 2 с решениями
Имеется система уравнений *<i>x + *y + *z</i>= 0, *<i>x + *y + *z</i>= 0, *<i>x + *y + *z</i>= 0.Два человека поочерёдно вписывают вместо звёздочек числа.
Доказать, что начинающий всегда может добиться того, чтобы система имела ненулевое решение.
Дано 100 чисел <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>3</sub>, ..., <i>a</i><sub>100</sub>, удовлетворяющих условиям:
<i>a</i><sub>1</sub> – 4<i>a</i><sub>2</sub> + 3<i>a</i><sub>3</sub> ≥ 0,
<i>a</i><sub>2</sub> – 4<i>a</i><sub>3</sub> + 3<i>a</i><sub>4</sub> ≥ 0,
<i>a</i><sub>3</sub> – 4<i>a</i><sub>4</sub> + 3<i>a</i><sub>5</sub> ≥ 0,
...,
<i>a</i><sub>99</sub> – 4<i>a</i><sub>100</sub> +...
Составьте систему, состоящую из двух линейных уравнений, для которой строки (1, 1, 1, 1) и (1, 2, 2, 1) служат решениями.
Может ли система линейных уравнений с действительными коэффициентами иметь в точности два различных решения?
Решите системы уравнений. Для каждой из них выясните, при каких значениях параметров система не имеет решений, а при каких имеет бесконечно много решений. а) <img width="18" height="54" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61344/problem_61344_img_2.gif"><img width="130" height="54" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61344/problem_61344_img_3.gif">б) <img width="18" height="54" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61344/problem_61344_img_2.gif"><img width="138" height="54" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/...
За круглым столом сидят 4 гнома. Перед каждым стоит кружка с молоком. Один из гномов переливает ¼ своего молока соседу справа. Затем сосед справа делает то же самое. Затем то же самое делает следующий сосед справа и наконец четвёртый гном ¼ оказавшегося у него молока наливает первому. Во всех кружках вместе молока 2 л. Сколько молока было первоначально в кружках, если
а) в конце у всех гномов молока оказалось поровну?
б) в конце у всех гномов оказалось молока столько, сколько было в начале?
На рисунках изображены разбиения прямоугольников на квадраты. Найдите стороны этих квадратов, если в первом случае сторона наименьшего квадрата равна 1, а во втором — 2. а) <img width="105" height="89" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/61342/problem_61342_img_2.gif" alt="\begin{picture} (75,65)\put(0,0){\line(1,0){65}}\put(0,55){\line(1,0){65}} \pu... ...e(0,1){20}}\put(65,0){\line(0,1){55}} \put(30,20){\line(0,1){35}} \end{picture}">
б) <img width="111" height="98" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/61342/problem_61342_img_3.gif" alt="\begin{picture} (55,65)\put(0,0){\line(1,0){69}}\put(0,61){\line(1,0){69}}\put(... ...(0,1){25...
Решите системы а) <img width="20" height="92" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61341/problem_61341_img_2.gif"><img width="190" height="92" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61341/problem_61341_img_3.gif">б) <img width="20" height="92" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61341/problem_61341_img_4.gif"><img width="203" height="92" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61341/problem_61341_img_5.gif"> в) <img width="20" height="92" align="MIDDLE" border="0"...
Коля Васин гулял после школы пять часов. Сначала он шёл по горизонтальной дороге, затем поднялся в гору и, наконец, по старому маршруту возвратился назад в исходный пункт. Его скорость была 4 км/ч на горизонтальном участке пути, 3 км/ч при подъеме в гору и 6 км/ч – при спуске с горы. Какое расстояние прошёл Коля Васин?
Рассмотрим окружность радиуса 1. Опишем около нее и впишем в нее правильные <i>n</i>-угольники. Обозначим их периметры через <i>P<sub>n</sub></i> (для описанного) и <i>p<sub>n</sub></i> (для вписанного).
а) Найдите <i>P</i><sub>4</sub>, <i>p</i><sub>4</sub>, <i>P</i><sub>6</sub> и <i>p</i><sub>6</sub>.
б) Докажите, что справедливы следующие рекуррентные соотношения: <i>P</i><sub>2<i>n</i></sub> = <img width="63" height="51" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61335/problem_61335_img_2.gif">, <i>p</i&...
Метод Ньютона (см. задачу<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161328">9.77</a>) не всегда позволяет приблизиться к корню уравнения<i>f</i>(<i>x</i>) = 0. Для многочлена<i>f</i>(<i>x</i>) =<i>x</i>(<i>x</i>- 1)(<i>x</i>+ 1) найдите начальное условие<i>x</i><sub>0</sub>такое, что<i>f</i>(<i>x</i><sub>0</sub>)$\ne$<i>x</i><sub>0</sub>и<i>x</i><sub>2</sub>=<i>x</i><sub>0</sub>.
Докажите, что касательная к графику функции<i>f</i>(<i>x</i>), построенная в точке с координатами(<i>x</i><sub>0</sub>;<i>f</i>(<i>x</i><sub>0</sub>)) пересекает ось<i>Ox</i>в точке с координатой<div align="CENTER"> <i>x</i><sub>0</sub> - <img width="50" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61327/problem_61327_img_2.gif" alt="$\displaystyle {\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}}$">. </div>
Назовём <i>геометрико-гармоническим средним</i> чисел <i>a</i> и <i>b</i> общий предел последовательностей {<i>a<sub>n</sub></i>} и {<i>b<sub>n</sub></i>}, построенных по правилу <div align="CENTER"><i>a</i><sub>0</sub> = <i>a, b</i><sub>0</sub> = <i>b</i>, <i>a</i><sub><i>n</i>+1</sub> = <img width="60" height="51" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61324/problem_61324_img_2.gif">, <i>b</i><sub><i>n</i>+1</sub> = <img width="53" height="39" align="MIDDLE...
Пусть <i>a</i> и <i>b</i> – два положительных числа, и <i>a < b</i>. Определим две последовательности чисел {<i>a<sub>n</sub></i>} и {<i>b</i><sub>n</sub>} формулами: <div align="CENTER"><i>a</i><sub>0</sub> = <i>a,   b</i><sub>0</sub> = <i>b, a</i><sub><i>n</i>+1</sub> = <img width="60" height="51" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61323/problem_61323_img_2.gif">, <i>b</i><sub><i>n</i>+1</sub> = <img width="60" height="51" align="MIDDLE" border=&quo...
Пусть <i>a</i> и <i>b</i> – два положительных числа, причём <i>a < b</i>. Построим по этим числам две последовательности {<i>a<sub>n</sub></i>} и {<i>b<sub>n</sub></i>} по правилам: <div align="CENTER"><i>a</i><sub>0</sub> = <i>a</i>, <i>b</i><sub>0</sub> = <i>b</i>, <i>a</i><sub><i>n</i>+1</sub> = <img width="53" height="39" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61322/problem_61322_img_2.gif">, <i>b</i><sub><i>n</i>+1</sub> = <img width="60" height="...
Решите уравнение$\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+x}}}$=<i>x</i>.
Числа<i>a</i><sub>1</sub>,<i>a</i><sub>2</sub>, ...,<i>a</i><sub>k</sub>таковы, что равенство<div align="CENTER"> $\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}^{}$(<i>x</i><sub>n</sub> + <i>a</i><sub>1</sub><i>x</i><sub>n - 1</sub> +...+ <i>a</i><sub>k</sub><i>x</i><sub>n - k</sub>) = 0 </div>возможно только для тех последовательностей {<i>x</i><sub>n</sub>}, для которых$\lim\limits_{n\to\infty}^{}$<i>x</i><sub>n</sub>= 0. Докажите, что все корни многочлена<div align="CENTER"> <i>P</i>($\displaystyle \lambda$)...
Последовательность чисел {<i>a</i><sub>n</sub>} задана условиями<div align="CENTER"> <i>a</i><sub>1</sub> = 1, <i>a</i><sub>n + 1</sub> = <i>a</i><sub>n</sub> + $\displaystyle {\dfrac{1}{a_n^2}}$ (<i>n</i> $\displaystyle \geqslant$ 1). </div>Верно ли, что эта последовательность ограничена?
Геометрической интерпретацией итерационного процесса служит<i>итерационная ломаная</i>. Для ее построения на плоскости<i>Oxy</i>рисуется график функции<i>f(x)</i>и проводится биссектриса координатного угла — прямая<i>y</i>=<i>x</i>. Затем на графике функции отмечаются точки<i>A<sub>0</sub>(x<sub>0</sub>,f(x<sub>0</sub>))</i>,<i>A<sub>1</sub>(x<sub>1</sub>,f(x<sub>1</sub>))</i>,...,<i>A<sub>n</sub>(x<sub>n</sub>,f(x<sub>n</sub>))</i>,... а на биссектрисе координатного угла — точки<i>B<sub>0</sub>(x<sub>0</sub>,x<sub>0</sub>)</i>,<i>B<...
<b>Метод итераций.</b>Для того, чтобы приближенно решить уравнение, допускающее запись<i>f</i>(<i>x</i>) =<i>x</i>, применяется метод итераций. Сначала выбирается некоторое число<i>x</i><sub>0</sub>, а затем строится последовательность {<i>x</i><sub>n</sub>} по правилу<i>x</i><sub>n + 1</sub>=<i>f</i>(<i>x</i><sub>n</sub>)(<i>n</i>$\geqslant$0). Докажите, что если эта последовательность имеет предел<i>x</i>* =$\lim\limits_{n\to\infty}^{}$<i>x</i><sub>n</sub>, и функция<i>f</i>(<i>x</i>) непрерывна, то этот предел является корнем исходного уравнения:<i>f</i&...
К чему будет стремиться последовательность из предыдущей задачи<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161297">9.46</a>, если в качестве начального условия выбрать<i>x</i><sub>1</sub>= - 1?
<b>Вавилонский алгоритм вычисления $\sqrt{2}$.</b>Последовательность чисел {<i>x</i><sub>n</sub>} задана условиями:<div align="CENTER"> <i>x</i><sub>1</sub> = 1, <i>x</i><sub>n + 1</sub> = $\displaystyle {\textstyle\dfrac{1}{2}}$$\displaystyle \left(\vphantom{x_n+\frac{2}{x_n}}\right.$<i>x</i><sub>n</sub> + $\displaystyle {\frac{2}{x_n}}$$\displaystyle \left.\vphantom{x_n+\frac{2}{x_n}}\right)$ (<i>n</i> $\displaystyle \geqslant$ 1). </div>Докажите, что$\lim\limits_{n\to\infty}^{}$<i>x</i><sub>n</sub>=$\sqrt{2}$.
Решите систему: $\left{\vphantom{ \begin{array}{rcl} \hbox{\rm tg\ }x\cdot\hbox{\rm tg\ }z&=... ...box{\rm tg\ }y\cdot\hbox{\rm tg\ }z&=&6,\ x+y+z&=&\pi. \end{array} }\right.$$\begin{array}{rcl} \hbox{\rm tg\ }x\cdot\hbox{\rm tg\ }z&=&3,\ \hbox{\rm tg\ }y\cdot\hbox{\rm tg\ }z&=&6,\ x+y+z&=&\pi. \end{array}$
Пусть |<i>x</i><sub>1</sub>| ≤ 1 и |<i>x</i><sub>2</sub>| ≤ 1. Докажите неравенство <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/61288/problem_61288_img_2.gif">
Среди всех решений системы
<i>x</i>² + <i>y</i>² = 4,
<i>z</i>² + <i>t</i>² = 9,
<i>xt + yz</i> = 6
выберите те, для которых величина <i>x + z</i> принимает наибольшее значение.